Om het verloop van v
hor en v*
hor nader te onderzoeken, werken we de formules nog wat om. Voor v*
hor vinden we:
\( v^*_{hor} (t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \frac{ \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{R} } \, . \, \frac{ \mbox{g} }{2 \, \mbox{h}_{toren}} t^2 \)
(formule δ).
\( v^*_{hor} (t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \frac{ \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{R} } \, . \, \frac{t^2}{ \frac{ 2 \, \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{g} } } \)
\( v^*_{hor} (t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \frac{ \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{R} } \, . \, \frac{t^2}{ \tau^2 } \)
(wegens formule β)
\( v^*_{hor} (t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \frac{ \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{R} } \, . \, \left ( \frac{t}{ \tau } \right )^2 \)
.
We schrijven nu:
\( \mbox{cor}_1(p , q) = p . q^2 \)
(formule ε).
Deze wiskundige functie noemen we de
eerste correctiefunctie.
Vervolgens mogen we ook schrijven:
\( v^*_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \mbox{cor}_1 \left ( \frac{ \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{R} } , \frac{ t }{ \tau } \right ) \)
(formule ζ).
En voor v
hor vinden we:
\( v_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \left ( \frac{1}{ \left ( 1 \, - \, \frac{\mbox{g}}{2( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren})} t^2 \right )^2 } \,\, - \,\, 1 \right ) \)
(formule γ) .
\( v_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \left ( \frac{1}{ \left ( 1 \, - \, \frac{\mbox{g} \, . \, \tau^2}{2( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren})} \frac{t^2}{\tau^2} \right )^2 } \,\, - \,\, 1 \right ) \)
\( v_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \left ( \frac{1}{ \left ( 1 \, - \, \frac{\mbox{g} \, . \, \left ( \sqrt{ \frac{ 2 \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{g} } \right )^2}}{2( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren})} \left ( \frac{t}{\tau} \right )^2 \right )^2 } \,\, - \,\, 1 \right ) \)
(bij toepassing van formule ß)
\( v_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \left ( \frac{1}{ \left ( 1 \, - \, \frac{\mbox{g} \, . \, \frac{ 2 \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{g} }}{2( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren})} \left ( \frac{t}{\tau} \right )^2 \right )^2 } \,\, - \,\, 1 \right ) \)
\( v_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \left ( \frac{1}{ \left ( 1 \, - \, \frac{ 2 \mbox{h}_{toren} }{2( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren})} \left ( \frac{t}{\tau} \right )^2 \right )^2 } \,\, - \,\, 1 \right ) \)
\( v_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \left ( \frac{1}{ \left ( 1 \, - \, \frac{ \mbox{h}_{toren} }{\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}} \left ( \frac{t}{\tau} \right )^2 \right )^2 } \,\, - \,\, 1 \right ) \)
\( v_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \left ( \frac{1}{ \left ( 1 \, - \, \frac{ \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} }{ 1 + \frac{\mbox{h}_{toren}}{ \mbox{R} } } \left ( \frac{t}{\tau} \right )^2 \right )^2 } \,\, - \,\, 1 \right ) \)
.
We schrijven nu:
\( \mbox{cor}_2(p , q) = \frac{1}{ \left ( 1 \, - \, \frac{ p }{ 1 + p } } q^2 \right )^2 } \,\, - \,\, 1 \)
(formule η).
Deze wiskundige functie noemen we de
tweede correctiefunctie. Vervolgens kunnen we nu ook kortweg schrijven:
\( v_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \mbox{cor}_2 \left ( \frac{ \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{R} } , \frac{ t }{ \tau } \right ) \)
(formule θ).
Interessant is nu hoe de correctiefuncties cor
1(p,q) en cor
2(p,q) verlopen voor het interval q = 0 tot q = 1 (wat overeenkomt met de volledige val van het steentje vanaf
\( t=0 \)
tot
\( t= \tau \)
). Door dat verloop voor verschillende waarden van p te bekijken kunnen we het effect van de verschillende torenhoogten nagaan.
Gaat dat met Excel lukken?