[Mechanica] Zwaartekracht

[Jan van de Velde]

Het maakt nogal wat emoties los, maar dat was al zo op die forums in het antieke Griekenland.

Dit soort discussies en de wijze waarop u die voert maken bij mij geen onbeheersbare emoties los hoor. Net zoals Brinx is ook voor mij de Newtoniaanse mechanica niet heilig. Integendeel, we weten dat ze niet klopt, omdat tijd en afstand niet zoals Newton dacht overal en voor iedereen gelijk zijn. Dat niet constant zijn van tijd en afstand begint pas een meetbare rol te spelen bij forse snelheden, en met de precisie van de instrumenten die Newton tot zijn beschikking had in de tijd waarin Newton leefde kunnen we het hem niet kwalijk nemen dat hij nooit in die richting dacht. Naar mijn mening is ze wél een uitstekende benadering van de werkelijkheid; aangezien we een verschil dat geen verschil maakt in de praktijk van alledag gevoeglijk als géén verschil kunnen beschouwen, en we binnen die verwaarloosbare foutmarges met de Newtoniaanse mechanica eigenlijk alles kunnen verklaren omtrent de bewegingen van de dingen om ons heen, zie ik geen enkele reden om de Newtoniaanse mechanica ongeldig te gaan verklaren zonder grondig bewijs.

Voorzover het gaat om zaken die we nu, met betere technologische hulpmiddelen, waarnemen, kunnen we die vooralsnog prima verklaren met enige lichte (relativiteits-)aanpassingen op die Newtoniaanse wetten.

Uw verhaal over in de lucht gegooide stenen, gewicht en verdichting kan ik niet volgen. Ik vind het prima dat u Newton ongeldig wilt verklaren, maar vind dat er dan wel een begin gemaakt moet worden met een alternatief. Dat hoeft niet meteen een vervanger voor de complete "Principia" te worden, maar een beginnetje waarin het alternatief ook rekenkundig een van mijn waarnemingen op een andere dan Newtoniaanse basis op sluitende wijze verklaart zou welkom zijn.

[wakkary]

Goed, Jan van de Velde, dat zal ik doen. Maar ik ben overgewipt naar Nieuwe Theoriën. Daar kan je me verder volgen.

Ton

[aadkr]

Brinx, ik ben het met je eens, maar om dit aan te tonen is een ander verhaal.

Misschien dat we samen een poging kunnen wagen.

Het volume van een omwentelingsellipsoide met lange halve as a ( de x-as) en korte halve as b(de y-as) die om de y-as wordt gewenteld , is volgens mij:

\(V=\frac{4}{3}\pi a^2b\)

Volgens tabellenboek BINAS zou de dichtheid van de aarde zijn: 5520 kg/m^3 en de massa=5,976 . 10^24 kg.

Als we voor b nemen 0,5 meter , dan krijg ik een waarde voor a =22735604,710 km. ( a is dan de straal aan de equator ).

Als we nu op de noordpool van deze aarde gaan staan,dus in punt (0,0,1/2), dan mogen we de massa van de bol met straal 0,5 meter geconcentreerd denken in de oorsprong (0,0,0). Tot zover geen probleem.

Maar als je rekent met dunne bolschillen, dan wordt de straal van deze bolschillen nu groter dan 0,5 meter en dan zou de vergelijking moeten weten van det doorsnijdingsoppervlak van de bolschil met de omwentelingsellipsoide.

En dat is wel een probleem.

Als je die eenmaal hebt, dan kan je de gravitatiepotentiaal berekenen, en daarna neem je - grad (V) dus min de gradient van de grav. potentiaal.

Zie ook Fundamentele Natuurkunde Deel 1 Mechanica van Alonso en Finn

Vraag: Stel je hebt een schijf met straal R=18563540,9 km en een dikte van 1 meter. De dichtheid is 5520 kg/m^3 ( dichtheid van de aarde).

Persoon A ( m=1 kg) staat in punt P . P bevindt zich op de rotatieas van de schijf en op een afstand van 0,5 meter van het middelpunt van de schijf.

Bereken de versnelling die Persoon A ondervind)

[Jan van de Velde]

Met ieders welnemen wil ik deze discussie even terug aanzwengelen:

Ik weet niet of de volgende vraag niet in een nieuw onderwerp thuishoort, maar

-omdat op deze draad veel mensen hebben gediscussieerd die zo te zien veel over zwaartekracht weten,

-en omdat deze draad toch al een tijdje stilstaat zodat mijn vraag de discussie niet meer in de weg zal zitten,

stel ik hem toch maar hier

De aarde is geen perfecte bol: ze is aan de polen wat afgeplat (kleiner dan gemiddelde straal), en op de evenaar wat uitgedijd.

Zonder hierover ooit diep nagedacht te hebben meende ik dat ik DUS op de polen een geringere (verticaal naar het aardmiddelpunt gerichte) zwaartekracht zou ondervinden dan op de evenaar, omdat er minder aardmassa zich recht onder mij bevindt.

Ik begrijp uit deze draad en andere sites dat ik het mis heb, het is omgekeerd.

Zwaartekracht (Fz) wordt gesteld omgekeerd evenredig te zijn met het kwadraat van de afstand (R^2) tussen de massamiddelpunten van de twee lichamen. Omdat die afstand op de (afgeplatte) pool kleiner is, is de zwaartekracht groter (op de pool g=9,82 m/s2, evenaar 9,79 of zoiets).

Dus nu mijn (kennelijk schijnbare) paradox:

Als ik de aarde zie als een zak vol kiezelsteentjes, dan kan ik in principe de zwaartekracht uitrekenen die ik ondervindt van elk kiezeltje apart. Een kiezeltje op 10 m recht onder mij zal mij veel harder naar het centrum van de aarde trekken dan zo'n zelfde kiezeltje op 10 m naast mij aan de oppervlakte, resultante Fverticaal= Fz. sina.

Plat nu de zak met kiezels fors af: De massa van de zak blijft gelijk, mijn massa blijft gelijk, als ik op die pool sta kom ik zeer dicht bij het massamiddelpunt van mijn platte aarde, volgens de officiële theorie is R^2 nu zeer klein, en daarmee Fz zeer sterk. Maar als ik nu weer naar mijn afzonderlijke kiezels reken, dan bevinden zich veel kiezels schuin naast mij(sina klein), en bovendien verder weg (R^2 groot) waardoor de resultante kracht naar beneden veel kleiner zou moeten zijn......

Ik heb geprobeerd dit te modelleren, maar ik stuit op mijn beperkte wiskundige capaciteiten. Een zeer (te?) simpel model, waarbij ik eerst sta op een kubusvormige aarde bestaande uit 8 kubusvormige kiezels, en daarna op dezelfde 8 kubussen met hun massamiddelpunten in één vlak, ontkracht mijn denktrant niet.

WAAR GA IK IN DE FOUT?

- maak ik een rekenfout?

- maak ik een denkfout?

- of geldt wiskundig dat tijdens het afplatten van de aarde Fz pool eerst groter zal zijn dan Fz evenaar, dat ze bij een bepaalde afplatting weer gelijk worden, en dat vanaf dat punt Fz pool steeds kleiner zal worden totdat die uiteindelijk nul wordt bij een flinterdunne aardeschijf?

- of is er nog iets anders aan de hand en moet ik gewoon wat minder gaan roken??(ook geen slechte raad overigens)

Daaromtrent wordt ook na bovenstaand bericht nr 70 in deze topic nog verder gediscussieerd. We kwamen er wiskundig niet uit, en dus werd de vraag in het wiskundeforum gesteld.

http://sciencetalk.nl/forum/index.php?s...st&p=112743

Kan intussen iemand dit verder uitwerken?

De stelling: volgens ons, als je doorgaat met het afplatten (ellipsvormiger maken) van de Aarde komt er een moment dat de ondervonden zwaartekracht aan de polen weer gelijk is aan de zwaartekracht op de evenaar.

hoe groot zijn dan de diameter gemeten over de polen, en gemeten over de evenaar? Centripetaalkracht mag buiten beschouwing blijven.

[da_doc]

http://www.mathpages.com/home/kmath402/kmath402.htm

Zie vergelijkingen voor Fr en Fz. Als r=z=0 dan zijn beide integralen gelijk nul. Een platte schijf deel je op in ringen en voila. Volgt ook uit symmetrie, natuurlijk.

Bij een niet draaiende bol is de zwaartekracht op het oppervlak overal hetzelfde.

[physicalattraction]

Wat we in real life al bedacht hadden afgelopen zaterdag is het volgende:

Ggebruik cylinder coordinaten:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

Stel, de aarde is een ellipsoide met als vergelijking:

\(r^2 + \Bigl( \frac{z}{c} \Bigr) ^2 = 1\)

, met

\(c \in (0,1]\)

.

We nemen een constante massadichtheid van de aarde aan. Beschouw deze dichtheid en de constanten in Newton's zwaartekrachtvergelijking dusdanig, dat geldt:

\(F_z = \frac{1}{R^2}\)

Wanneer je nu zelf op het punt met de coordinaten

\((r_0, \phi_0, z_0)\)

staat, dan is de zwaartekracht als gevolg van een infinitesimaal volume-element met als coordinaten

\((r,\phi,z)\)

:

\(F_z = \frac{1}{\bigl( r \cos(\phi) - r_0 \cos(\phi_0) \bigr)^2 + \bigl(r \sin(\phi) - r_0 \sin(\phi_0)\bigr)^2 + \bigl(z - z_0 \bigr)^2} r dz d\phi dr\)

Nu geldt wanneer je op de noordpool (dus (0,0,c) in Cartesische coordinaten) staat:

\(F_z = \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{-c \sqrt{1-r^2}}^{c \sqrt{1-r^2}} \frac{1}{r^2 + (z-c)^2} r dz d\phi dr\)

en wanneer je op de evenaar (dus (1,0,0) in Cartesische coordinaten) staat:

\(F_z = \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{-c \sqrt{1-r^2}}^{c \sqrt{1-r^2}} \frac{1}{\bigl(r \cos(\phi) -1 \bigr)^2 + \bigl(r \sin(\phi)\bigr)^2 + z^2} r dz d\phi dr\)

Probleem is dat ik nu geen mathematische software bij de hand heb om dit op te lossen. Lukt een Mathematica het om deze twee aan elkaar gelijk te stellen en op te lossen naar

\(c\)

, dan ben je er. Anders is er inderdaad nog wat zwaardere wiskunde voor nodig.

[physicalattraction]

Hmmm, doordat er al voldoende bier genuttigd was, hebben we toch een beginnersfout eerste klas gemaakt. We moeten natuurlijk niet de kracht van elk infinitesimaal element gewoon optellen, maar vectorieel optellen. Eerst dus nog een projectie van de richting van de kracht maken op de kracht in de uiteindelijke richting, welke je weet aan de hand van symmetrie.

[ZVdP]

Ik heb het maar eens numeriek geprobeerd, nadat ik ontmoedigd werd door de analytische uitdrukking in carthesische coördinaten.

Ik heb een kubisch grid gemaakt en voor elk punt de loodrechte zwaartekrachtscontributie genomen (de andere componenten vallen toch weg door symmetrie).

Voor de aarde heb ik een ellipsoïde genomen; twee assen lengte 2 en de andere as lengte 2a, voor a gaande van 1 naar 0.

aarde (a=0.5):

earth 643 keer bekeken

conclusie:

gravity 643 keer bekeken

Voor a=1 heb je een bol, dus zijn beide gelijk. Voor a=0 zijn beide 0. Daartussen blijkt er geen snijpunt te zijn...

Ik ga de code voor de zekerheid nog wel eens controleren op eventuele fouten.

[Rogier]

Ik had nog de gehele aardbol/ellipsoïde als cartesische coördinaten willen nemen, en kwam dan op zoiets:

aarde 644 keer bekeken

\(F = \int_{-R}^R \int_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}} \int_{-a\sqrt{R^2-x^2-y^2}}^{a\sqrt{R^2-x^2-y^2}} f(x,y,z)\ dz\ dy\ dx\)

met

\(f_{\text{pool}}(x,y,z) = \frac{c}{x^2+y^2+(z-aR)^2}\sqrt{\frac{(z-aR)^2}{x^2+y^2+(z-aR)^2}}\)

respectievelijk

\(f_{\text{evenaar}}(x,y,z) = \frac{c}{(x-R)^2+y^2+z^2}\sqrt{\frac{(x-R)^2}{(x-R)^2+y^2+z^2}}\)

Waarbij a=0..1 de afplatting is (dezelfde betekenis als in ZvdP's benadering hierboven), en c de gravitatieconstante maal massadichtheid v/d aarde, lees 1 /

Die twee wortels zijn om alleen de zwaartekrachtcomponent naar beneden mee te wegen (inderdaad physicalattraction, ik realiseerde me later ook dat die restrictie er nog bij moest )

Vooralsnog krijg ik deze integralen niet fatsoenlijk ingevoerd in Wolfram|Alpha zodanig dat hij begrijpt wat ik bedoel... Één integraal gaat prima, maar bij meer misinterpreteert hij telkens de syntax /

[Jan van de Velde]

Voor a=0 zijn beide 0.

Dat mag eigenlijk niet kunnen. In dat geval zit er op de evenaar namelijk nog ál de massa ónder je voeten, ook al (of juist indien...) beschouwen we onszelf als een puntmassa.

Blijft in dit model de massa van de aarde gelijk, waarbij de pooldiameter afneemt en de evenaardiameter toeneemt? En de totale massa gelijkblijft?

[ZVdP]

Ik heb een constante massadichtheid genomen, geen constante massa. Vandaar de 0 bij a=0.

Constante massa zal de curves veranderen, maar het zal geen snijpunt introduceren.

[physicalattraction]

@ Jan: Zo te zien hebben we allemaal de aanname gemaakt dat niet de totale massa gelijk blijft, maar de massadichtheid. Vandaar dat er überhaupt geen massa is wanneer a=0.

@ ZvdP: Kun je je scriptje eens posten?

@ Rogier: Je hebt een linkshandig assenstelsel getekend. Niet dat dat uitmaakt voor deze vraag, maar het is hoogst ongebruikelijk voor algemenere problemen.

[Rogier]

Blijft in dit model de massa van de aarde gelijk, waarbij de pooldiameter afneemt en de evenaardiameter toeneemt? En de totale massa gelijkblijft?

Wat physicalattraction zegt, en de evenaardiameter neemt niet toe. We gaan zeg maar uit van een bol met straal R, en we "schrapen" een laag van de boven- en onderkant (meer naarmate a kleiner is) totdat de noordpool nog maar aR boven het middelpunt ligt (bij de evenaar nog steeds R).

De evenaardiameter toe laten nemen zou overigens niets uitmaken (=zelfde situatie met grotere R).

[stemc2]

Idee om het rekenwerk misschien gemakkelijker te maken. De kracht is de negatieve gradiënt van de potentiële energie. Een scalaire functie is gemakkelijker te integreren dan een vectorfunctie.

[physicalattraction]

Hoe zie je dat voor je? Je kunt wel de potentiële energie van elk infinitesimaal stukje gewoon optellen, maar hoe neem je dan de gradiënt hiervan zonder de energie op elk punt in de ruimte te moeten uitrekenen?