sciencetalk

Ik zou graag willen weten of er bepaalde regels zijn voor functievoorschriften. Ik zal proberen uit te leggen waar ik mee zit met wat voorbeelden, want anders gaat het nogal lastig zijn om mijn probleem duidelijk te maken. Als ik de vraag gewoon kon stellen zou het veel gemakkelijker zijn geweest. Mijn probleem is eerder een probleem van notatie, mijn hoofd wil het tegenwoordig niet meer bekijken als één pot nat maar wil duidelijkheid.

Ik neem een functie f, bijvoorbeeld de cosinusfunctie. Deze kan ik dan evalueren in verschillende punten: x, t of desnoods zelfs g(t).
Dit lijken mij allemaal zinvolle functievoorschriften. Het volgende echter niet, omdat de variabele tussen haakjes en de variabele in het voorschrift dus niet overeen komen:
Mijn probleem heeft betrekking op samengestelde functies. f(g(t)) kan je bekijken op 2 verschillende manieren. Je kan het bekijken als een functie f die geëvalueerd wordt in de waarde g(t) (maw: met g(t) als variabele) en je kan het bekijken als een samengestelde functie, waar t de variabele is.

Als ik het bekijk op de eerste manier zou ik zeggen dat:
zinvol is, terwijl (neem voor g bijvoorbeeld de vierkantswortel) juist niet meer zinvol is, daar de variabele tussen de haakjes en de variabele in het voorschrift niet meer overeen komen (zie hoger). Voor een bepaalde g(t) = a kan je in het eerste voorschrift namelijk wel de functiewaarde bepalen, maar in het 2de niet.

Als ik het echter bekijk op de 2de manier f(g(t)) = (fog)(t) zou ik zeggen dat:
en wel beiden zinvolle functievoorschriften zijn. Ook wanneer je f(g(t)) vervangt door h(t) blijven volgende voorschriften in mijn ogen geldig:
In het eerste voorschrift is g namelijk gewoon een functie zoals de cos(), sin(), log() vierkantswortel etc, dus is er voor mij totaal geen probleem met dit.

Het echte probleem komt eigenlijk pas bij het differentieren van deze functies. Ik neem een functie f(x) = 2x en een andere functie x = g(t) = t².

De afgeleide van f(x) naar t kan je dan op verschillende manieren berekenen:
Dit kan je dan weer op 2 manieren bekijken: als een differentiaalquotient of als een differentiaaloperator die op f werkt. Als ik het bekijk op deze 2de manier zou ik het vreemd vinden dat deze operator de variabele verandert van x naar t (Hoewel ik hier niet zo veel van weet, daarom dat ik hulp zoek). Met andere woorden, als ik een functie f(x) differentieer, dan verwacht ik een functie in de variabele x terug. Als je immers de afgeleide van f(x) naar de tijd wilt evalueren in een bepaalde x, dan wil je geen functie van t bekomen. Meestal bereken ik deze dan ook via , waar er soms wel meerdere oplossingen voor g^{-1}(x) zijn, zoals in dit voorbeeld het geval is:
Een andere manier is gewoon de afgeleide van f(g(t)) te berekenen via de kettingregel. Ook hier hangt het er dus vanaf of ik g(t) dus als variabele beschouw of het geheel als een samenstelling van de functies f en g. Als ik de afgeleide functie wil evalueren in een bepaalde g(t), dan wil ik ook een functie in g(t) krijgen en niet in t, en dan moet ik dus analoog te werk gaan als bij het vorige geval. Als ik het geheel beschouw als een samengestelde functie van t echter, dan kan ik zonder problemen de kettingregel toepassen. Mijn hersenen geven dan geen "syntax error".

Over h(t) = (fog)(t) valt niet veel te zeggen, dit is gewoon "normaal" differentieren. Normaal gesproken zou het voor mij geen probleem zijn en zou ik deze vaker (of bijna altijd) gebruiken, maar dan zou ik bij een normale oefening nogal veel functies moeten definiëren zodat hun fysische betekenis minder duidelijk wordt. Je wilt meestal voor fysische grootheden geen 3 verschillende symbolen gebruiken gewoon omdat je een stomme differentiatie moet doen. Aan de andere kant wil ik ze ook niet allemaal hetzelfde noemen, anders klopt het wiskundig van geen kant meer. Als je met y(x) en y(t) 2 verschillende functies y bedoelt dan is dat wiskundig toch niet zo correct, want t invullen voor x in y(x) zou normaal gezien y(t) moeten geven.

Wat ik hier allemaal geschreven is is zoals het voor mij "aanvoelt", maar ik zou graag weten of er bepaalde regels zijn voor het schrijven van functievoorschriften, want het bronnenmateriaal dat ik vind geeft vaak geen voldoende antwoord op mijn vragen. Hopelijk kan iemand mij meer duidelijkheid geven hierover.

Laat f een gegeven functie zijn, dan is f een afbeelding die aan een gegeven x de bijbehorende functiewaarde f(x) toevoegt, waarbij x het argument van de functie f wordt genoemd. In jouw voorbeeld f(x) = cos t heb je eigenlijk te maken met een functie f met argument x en een functie g(t) = cos t met argument t. Omdat f wel van x, maar niet van t afhangt, is f dus geen functie van t, maar wel van x. Hopelijk is het zo wat duidelijker voor je.

Ik kan je gedachtenkronkels niet helemaal volgen.

Even iets over functies.

Voorbeelden van functies zijn .

Hiervan is het functievoorschrift bekend, behalve van de laatste twee .

Bijvoorbeeld:
en
De is in deze voorbeelden een dummy!

Dus we kunnen ook schrijven:
.

In zie ik 2 dummies, x en t.

Hier staat niet , want de dummy links en rechts verschillen.

Invullen van en geeft en invullen van en geeft Dus . Onzin, dus is onzin.
geldt b.v. als en .

In kun je niet zien als een variabele, maar als een functiewaarde (een getal, afhankelijk van t).

Je schrijft: "Ik neem een functie f(x) = 2x".

Dat is geen functie, maar een functievoorschrift. is de functie.

Wat betreft .

Dit is GEEN quotient.

Je weet wat betekent.

Dat is de afgeleide van f in het punt g(t) (is een getal), vermenigvuldigd met de afgeleide van g in t.

Als in , een funtie van t is, dus ,

dan heeft , wel een betekenis, namelijk de

afgeleide van f in het punt vermenigvuldigd met de afgeleide van naar .

Nog even iets over .

Dit lijkt een breuk te zijn, maar dat komt door de lelijke (te vaak gebruikte) notatie.

Beter is de schrijfwijze .

Dus is de functie In de schrijfwijze wordt de dummy al aangegeven.

Stel is een functie van .

Dan heeft een betekenis.

Het lijkt slordig dan hier in staat in plaats van .

Dat is ook slordig, maar die slordigheid ben je (al ben je daar niet echt van bewust) al lang gewend.

Neem de parabool .

De afgeleide is .

Zie wat hier gebeurd is. Hier is een functie van .

Dus correcter was geweest: en .

Het argument van de functie wordt dus doorgaans gewoon weggelaten, en dat is geen probleem omdat we daar gewend aan zijn geraakt.

Er geldt (kettingregel)
Het lijkt net of in het rechter lid een teller tegen een noemer wegvalt.

Dat is een makkelijk geheugensteuntje. Merk op dat in het linker deel van het product je de moet zien als een variabele en in het rechter deel als een functie van !