Integraalbewijs

[dirkwb]

Als f een begrensde, niet-negatieve functie is, bewijs dan dat er geldt:

\( \int_0^{\infty} f \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{ \ln(x)}{x}\ \mbox{d}x = 0 \)

Moet ik dit via partiële integratie doen? Kan iemand me op weg helpen?

[PeterPan]

Wat me direkt opvalt is dat als je substitueert

\(u=\frac{1}{x}\)

je dezelfde integraal krijgt.

De vraag is, wat betekent dat?

[Bart]

Wat me direkt opvalt is dat als je substitueert

\(u=\frac{1}{x}\)

je dezelfde integraal krijgt.

Hoe dan?

[dirkwb]

Hoe dan?

Ik heb ook mijn twijfels, ik krijg namelijk omgekeerde grenzen, klopt dat Peterpan?

[PeterPan]

Soit, plus of min. Het gaat om de vraag, wat betekent dat?

Een beetje sleutelen met de grenzen!

[PeterPan]

Kortom

\(\int_0^{\infty} = -\int_0^{\infty}\)

.

Andere manier:

\(\int_1^{\infty} = -\int_0^{1}\)

.

[dirkwb]

Er geldt dus:

\( \int_0^{\infty} f \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{ \ln(x)}{x}\ \mbox{d}x = -\int_0^{\infty} f \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{ \ln(x)}{x}\ \mbox{d}x\)

en dat kan alleen als er geldt:

\(\int_0^{\infty} f \left( x + \frac{1}{x} \right) \frac{ \ln(x)}{x}\ \mbox{d}x=0\)

met f begrensd en niet-negatief.

Is dit correct?

[PeterPan]

Het niet negatief zijn is onbelangrijk. Het begrensd zijn wel, omdat de intergrand anders niet Riemann-integreerbaar is op elk eindig segment.