Bewijs substitutieregel

[steven01]

De substitutieregel bij integraalrekening kan men bewijzen aan de hand van de kettingregel bij afgeleiden.

Uit

\(D(F(g(x)))=f(g(x))*g'(x)\)

volgt:

\( \int {f(g(x))*g'(x)}dx = F(g(x)) + C\)

Stel

\(g(x)=t\)

.

Men kan dan bij afspraak zeggen dat

\(g'(x)}dx=d(g(x))\)

.

Of:

\(\int {f(g(x))*g'(x)}dx = \int {f(t)*dt = F(t) + C \)

.

Maar in veel oefeningen zie ik dat men niet altijd een substitutie uitvoert met 't in functie van x'.

Men kan bijvoorbeeld

\(t^2 + 3 = x\)

substitueren. En dan zoek men dt en vervangt men dat allemaal...

Hoe kan je bewijzen dat je dat mag doen? Je hebt deze stelling toch enkel bewezen voor 't in functie van x' ?

[TD]

Niks houd je tegen om de stelling in de andere richting te gebruiken.

Lees het van rechts naar links, met dx = d(g(t)) = g'(t)dt en t = g(x).

[PeterPan]

Dat kun je niet bewijzen, omdat dat niet mag.

Je kunt formuleren wanneer dat wel mag, maar waarom zoveel moeite doen.

Gewoon proberen en de uitkomst differentieren om te kijken of het klopt.

[steven01]

Niks houd je tegen om de stelling in de andere richting te gebruiken.

Lees het van rechts naar links, met dx = d(g(t)) = g'(t)dt en t = g(x).

Natuurlijk . Ik vind het zo frustrerend als ik zo'n simpele dingen niet opmerk!

Dat kun je niet bewijzen, omdat dat niet mag.

Je kunt formuleren wanneer dat wel mag, maar waarom zoveel moeite doen.

Gewoon proberen en de uitkomst differentieren om te kijken of het klopt.

Wat bedoel je met 'omdat dat niet mag'? Bedoel je dat mijn voorbeeld met

\(t^2 + 3 = x\)

niet mag omdat er niet voor elke x-waarde er een corresponderende t-waarde is?

[PeterPan]

Voorbeeldje:

We willen

\(\int_{-1}^{1} \frac{\mbox{d}x}{1+x^2}\)

bepalen.

We gebruiken de substitutie

\(x=\frac{1}{u}\)

:

\(\int \frac{\mbox{d}x}{1+x^2} = \int \frac{1}{1+\frac{1}{u^2}}\cdot (-\frac{1}{u^2})\mbox{ d}u = -\int \frac{\mbox{d}u}{1+u^2} = -\arctan(\frac{1}{x})\)

.

Dus

\(\int_{-1}^{1} \frac{\mbox{d}x}{1+x^2} = -\arctan(\frac{1}{1}) + \arctan(\frac{1}{-1}) = -\frac{\pi}{2}\)

[PeterPan]

Bij substituties moet je altijd bedacht zijn op discontinuiteiten.