Orde van lipschitz continuïteit

[dirkwb]

1. Let 0 < a < b <= 1. Prove that the set of all Lipschitz functions of order

b is contained in the set of all Lipschitz functions of order a.

2. Is the set of all Lipschitz functions of order b a closed subspace of those

of order a?

Definitie orde van Lipschitz continuïteit

A function f: [a,b] -> R is Lipschitz of order a if there exists a constant K such that |f(x) - f(y)| <= K |x-y|^a and for all x,y in [a,b].

Voor 1 heb ik:

\( |f(x) -f(y)|<K|x-y|^b =K |x-y|^{b-a}|x-y|^a\)

\( |x-y| \leq |x|+|y| \leq 2b\leq 2 \)

en omdat

\(|b-a|\leq 1\)

geldt er dus

\( |x-y|^{b-a} \leq 2 \)

Conclusie

\(|f(x)-f(y)| <2K|x-y| <C|x-y|^a \)

Is dit correct?

[yoralin]

Oppassen met de notatie : bij de orde a en b en het interval [a,b] gaat 't niet over dezelfde a en b !

De gedachtengang is juist, maar de afschatting voor |x-y| op een interval [x₀,y₀] moet aangepast worden.

[PeterPan]

Door de verwarring met a'tjes en b'tjes is het niet te volgen.

De stelling is triviaal of, daar de vragensteller daar anders over denkt:

\((x,y)\mapsto |x-y|^{b-a}\)

is continu op het compacte deel

\([a?,b?]\times[a?,b?]\)

, dus begrensd.

[dirkwb]

Oppassen met de notatie : bij de orde a en b en het interval [a,b] gaat 't niet over dezelfde a en b !

Dus eigenlijk is de opgave verkeerd geformuleerd, toch?

\((x,y)\mapsto |x-y|^{b-a}\)

is continu op het compacte deel

\([a?,b?]\times[a?,b?]\)

, dus begrensd.

Gaat dit over opgave 2?

[yoralin]

Dus eigenlijk is de opgave verkeerd geformuleerd, toch?

Door de definitie is 't verwarrend; geef in de definitie de grenzen van het interval een andere naam.

Gaat dit over opgave 2?

Neen; in 1. moet je een bovengrens vinden voor |x-y|^b-a. PeterPan lost 't op via 'continue functie op een compact is begrend', dus er bestaat een bovengrens M. Je kan ook expliciet bvb. M = (lengte v/h interval)^b-a voorstellen.

[Phys]

Dus eigenlijk is de opgave verkeerd geformuleerd, toch?

Nee, want de definitie van Lipschitz-continuïteit staat los van opgaves. De a en b in de definitie hebben geen specifieke betekenis (kunnen vervangen worden door willekeurige letters), terwijl a en b in je opgave een gespecificeerde waarde hebben gekregen.

[PeterPan]

Definitie orde van Lipschitz continuïteit

A function f: [a,b] -> R is Lipschitz of order a if there exists a constant K such that |f(x) - f(y)| <= K |x-y|^a and for all x,y in [a,b].

[Phys]

Laten we daarvan maken:

Definitie orde van Lipschitz continuïteit

A function

\(f: [p,q]\to\rr\)

is Lipschitz of order

\(c\)

if there exists a constant

\(K\)

such that

\(|f(x) - f(y)| \leq K |x-y|^c\)

and for all

\(x,y\in [p,q]\)

.

Met vragen:

1. Let 0 < a < b <= 1. Prove that the set of all Lipschitz functions of order

b is contained in the set of all Lipschitz functions of order a.

2. Is the set of all Lipschitz functions of order b a closed subspace of those

of order a?

[dirkwb]

Laten we daarvan maken:

Definitie orde van Lipschitz continuïteit

A function

\(f: [p,q]\to\rr\)

is Lipschitz of order

\(c\)

if there exists a constant

\(K\)

such that

\(|f(x) - f(y)| \leq K |x-y|^c\)

and for all

\(x,y\in [p,q]\)

.

Prima.

Met vragen:

1. Let 0 < a < b <= 1. Prove that the set of all Lipschitz functions of order

b is contained in the set of all Lipschitz functions of order a.

\( |f(x) -f(y)|<K|x-y|^b =K |x-y|^{b-a}|x-y|^a\)

\( |x-y| \leq |x|+|y| \leq 2q \)

en omdat

\(|b-a|\leq 1\)

geldt er dus

\( |x-y|^{b-a} \leq 2q \)

Conclusie

\(|f(x)-f(y)| <2q|x-y|^a <C|x-y|^a \)

[PeterPan]

Helaas fout =D>

[dirkwb]

Wat klopt er niet?

[yoralin]

1) |x|+|y| <= 2q

2) |x-y|^b-a <= 2q

[dirkwb]

1) |x|+|y| <= 2q

Wat klopt er hier niet? x en y zijn toch maximaal q?

[yoralin]

[-123;1]

[dirkwb]

\( |x-y| \leq |x|+|y| \leq 2\cdot max(|p|,|q|) = 2d\)

en dus

\( |x-y|^{b-a} \leq 2d \)