Doorbuigingsberekeningen

[oktagon]

Het volgende onderwerp behoort mogelijk onder de klassieke statica (mechanica) thuis,ik begin maar hier omdat er ook practische doorbuigingen van constructies bij betrokken kunnen zijn.

Ik zag gisteren (mogelijk)op dit subforum "constructie-en sterkteleer"ofwel op een hieraan gerelateerd ander subforum een vraagstelling over het berekenen van de doorbuiging van een balk - een studieopgaaf- waarbij een bepaald rekenprogramma werd meegegeven,resp.werd geadviseerd.

Bij dit systeem was de werkwijze om een balk in gelijke lengtes op te delen en van elk de zakking tov.het naastgelegen deel te bepalen.Er werd een grafische weergave gedaan de div.verzakkingen in de balk met kleurenvariaties.

Dit betrof dus een berekening gebaseerd op verticaal gesitueerde rechthoeken dan wel rechthoekjes .

De vragensteller poogt als alternatief om via een opdeling in driehoekjes een oplossing te vinden,waarop de moderator dit vergeleek met een berekening van tralieliggers,wat m.i. idd.juist is.

Mijn conclusie was,dat het bewuste rekensysteem (rekenprogramma) alleen is gebaseerd op het verticaal verplaatsen van rechthoeken door aanwezige belasting en dat aan de basis van het rekensysteem "ergens" de integraalberekening wordt gebruikt,die werkt met een optelsom van verticale deeltjes en in dit systeem met grotere brokken.

Ik kan dit verhaal niet terugvinden,maar daar de problematiek me intrigeerde duik ik er op deze manier in.

Een doorbuiging van een slap koord dan wel een meer star voorwerp heeft altijd een parabolische (mogelijk hyperb.)vorm en geen cirkelvorm;wat is daar de reden van.

Als ik een loodrecht vallende waterdruppel beschouw en neem daarvan de verticale doorsnede,is dan het deel onder de grootste breedte van de druppel zuiver cirkelvormig of parabolisch (uitgezakte cirkel?)en het deel erboven gelegen,dus boven de grootste breedte een afwijkende vorm van parabolisch (ingezakte cirkel?).

In het bovenstaande treden er in feite twee soorten doorbuigingen op en wel het eerste voorbeeld met het koord resp.balk die onderhevig zijn aan een vorm van vaste oplegging en het druppelgeval,dat niet aan een oplegging gebonden is.

Ben benieuwd wat de reacties gaan opleveren!

[stoker]

Een doorbuiging van een slap koord dan wel een meer star voorwerp heeft altijd een parabolische (mogelijk hyperb.)vorm en geen cirkelvorm;wat is daar de reden van.

Het is nog een andere vorm, namelijk een kettinglijn, met parametervergelijking (op constanten na) t-> [cosh(t),sinh(t)]

Die vorm krijg je door het gewicht van het touw, de ketting of balk, zelf. Zoeken op kettinglijn zal je waarschijnlijk meer info geven. (de afleiding tot die parametervergelijking)

[oktagon]

Mijn leerboek van Romijn Horselink geeft weer dat de doorbuiging van een op zuivere buiging gelijkmatig belaste balk met een constant weerstandsmoment cirkelvormig is en dat de doorbuigingsformule f=0.125M*l²/(48EI) ( maar algemeen 5ql⁴/384EI) daarvan is afgeleid.

Ik redeneer dan wel vanuit een volledig gelijkmatige belasting en een volledig homogene balk met een constante doorsnede.

Ik kan erin komen,dat er bij de berekening in lengtebrokken er sprongen optreden en het getekende effect dan die van een hangende ketting gelijkt en het berekeningssysteem,dat in de vraagstelling voorkwam,als zodanig moet worden opgevat en dan kettinglijnresultaat geeft

In ons leersysteem werd een doorbuiging afgeleid uit een op een bepaalde plaats optredend moment (dus in een bepaalde verticale doorsnede als bijv bij "Richter" snedemethode)

[stoker]

Dan zal er blijkbaar een groot verschil zijn tussen doorbuigen van balk en hangen van ketting

http://en.wikipedia.org/wiki/Catenary

(mijn parametervergelijking is fout denk ik)

[oktagon]

Een balk is een massief element en een ketting bestaat uit massieve korte delen en gescharnierd verbonden ;je zou een gespannen ketting kunnen belasten en vergelijkbaar een kabel met gelijke W ook belasten en dan het resultaat meten.

Ik geloof dat de kabel minder doorbuigt,maar kan het mis hebben.

Je verwijzing naar de Catenary op Wiki is interessant en je ziet dat Gallilei er niet zover naast zat met zijn vergelijking van een ketting onder zwaartekracht en een parabolische doorzakking.

[oktagon]

Dan zal er blijkbaar een groot verschil zijn tussen doorbuigen van balk en hangen van ketting

http://en.wikipedia.org/wiki/Catenary

(mijn parametervergelijking is fout denk ik)

Aangezien de term parameter in mijn antieke opleiding nauwelijks voorkwam en dat dus nu vaak verwarring zaait bij mij,graag een uitleg wat die term in deze context betekent.

Uit WIKI haalde ik intussen de volgende omschrijving:

Een parametervergelijking is een wiskundige vergelijking waarin twee waarden, de x-waarde en de y-waarde, afhankelijk zijn van de tijd T. De x-waarde en y-waarde zijn hierbij onafhankelijk van elkaar

In een statische situatie speelt de tijd geen rol in een vergelijking (formule) ;bij een parabool en andere krommes is y=f(x) en is y afh.van x en dus omgekeerd ook!

[stoker]

Een parametervergelijking is een wiskundige vergelijking waarin twee waarden, de x-waarde en de y-waarde, afhankelijk zijn van de tijd T. De x-waarde en y-waarde zijn hierbij onafhankelijk van elkaar

In een statische situatie speelt de tijd geen rol in een vergelijking (formule) ;bij een parabool en andere krommes is y=f(x) en is y afh.van x en dus omgekeerd ook!

Je opmerking is volledig terecht, wikipedia is fout.

je hebt een parameter waar je x en y van afhangen, maar die parameter hoeft niet per se de tijd te zijn.

Een gewone carthesiaanse vergelijking is zo: y=f(x)

f is dus een verband tussen y en x.

nu kan je ook het verband tussen x en y uitdrukken met een parameter: x(t)= ... en y(t)= ...

En t moet fysisch niets voorstellen, het doorloopt gewoon een domein en definieert zo de punten [x(t),y(t)]

een voorbeeldje: de rechte onder 45° door de oorsprong:

carthesiaans: y=x

parameter: [t,t] met t element van de reele getallen

eenvoudige parabool: y=x²

parametervergl: [t,t²]

een parametervergelijking is echter niet uniek!

[2t,4t²] is een even goede voorstelling van die parabool.

x(t)=2t

y(t)=4t²

en dit moet nog altijd voldoen aan de carthesiaanse vergl, dus invullen: 4t²=y=x²= (2t)²=4t²

check

[oktagon]

Als ik dit verhaal probeer te volgen en haal daar ook de tijd bij en ga uit van y=x,dan zal een verplaatsing van een punt op de lijn,zowel in x als in y richting een gelijke tijd vergen.

Neem ik nu y= x²,dan zal een punt op die kromme bij het volgen van die kromme van begin tot eind in de x- en y- richting dezelfde tijd nodig hebben,alleen wel variabele snelheden hebben,terwijl dat bij de y=x rechte niet het geval is.

In alle krommes zou ik willen stellen dat de benodigde tijd in x-en in y-richting gelijk is ,maar dat de bijbehorende snelheden varieren,wrs.heeft een punt op een kromme een gelijkmatige snelheid en in de y richting een variabele,nl van een opleg naar een laagste punt met een versnelling en van een laagste punt van de kromme naar de andere oplegging een vertraging in de snelheid.

Het lijkt dus met een verticale beweging op een bergbeklimming en afdaling!

Ook uit Wiki:

In de exacte wetenschappen is een parameter een onbekende of variabele die de uiteindelijke toestand van een systeem, danwel de uiteindelijke waarde van een uitdrukking bepaalt wanneer deze een waarde toegekend krijgt. De stand van de lichtknop is bijvoorbeeld een parameter van het lichtsysteem in de kamer. De temperatuur en de stand van de thermostaat zijn parameters van het verwarmingssysteem. In de wiskunde is de variabele x in de uitdrukking

ƒ(x) = x + 3

een parameter, omdat het de waarde van de uitdrukking ƒ(x) bepaalt wanneer er een waarde aan x toegekend wordt

Wij noemden vroeger x een onafhankelijk veranderlijke en y ( dus f(x)) een afhankelijk veranderlijke.

Verder: eenvoudige parabool: y=x²

parametervergl: [t,t²]

Ik begrijp dan ook niet dat je een tijdsfunctie in een kromme in dit geval een waarde t en t² kunt geven,als een punt op die kromme van begin naar eind gaat doet dat punt EEN waarde van de tijd en niet in de x-richting bijv 2 sec. en in de y-richting 4 sec.

[stoker]

Ik heb nergens gezegd dat mijn t gelijk is aan de tijd. Maar het is wel mogelijk dat je met tijd werkt. Dan is het geen moment opname, maar eerder de voorstelling van een deeltje die een baan beschrijft en op elk moment op een andere plaats is.

op t=0 zit het deeltje in de oorsprong, op t=1 op het punt [1,1]

[jhnbk]

Mijn leerboek van Romijn Horselink geeft weer dat de doorbuiging van een op zuivere buiging gelijkmatig belaste balk met een constant weerstandsmoment cirkelvormig is en dat de doorbuigingsformule f=0.125M*l²/(48EI) ( maar algemeen 5ql⁴/384EI) daarvan is afgeleid.

Dan zal er blijkbaar een groot verschil zijn tussen doorbuigen van balk en hangen van ketting

Inderdaad. Het voorbeeld dat Oktagon aanhaalt is op zuiver buiging dus is de ligger belast met twee tegengestelde momenten op de uiteinden. De kabel hangt door onder zijn gewicht, welk eenparig belast is. Indien er interesse is kan ik wel even het bewijs geven van de bepaling van de vergelijking van deze curve. (Of een linkje uiteraard)

EDIT: je zou deze zakkingen ook kunnen simuleren door een staaf op te delen in zeer veel scharnierende elementje.

[stoker]

Ik ben eerder benieuwd wat er gebeurt als een balk niet ingeklemd is, dus zonder momenten aan de uiteinden, maar wel met een niet te verwaarlozen eigen gewicht.

dus met singulariteitsfuncties moet dat zoiets zijn:

\(q(x)=\frac{mg}{L} \left( <x-0>^0 - <x-L>^0 \right)\)

met L de lengte van de balk, en m de massa van de balk.

Als ik tijd had zou ik het oplossen tot u(x) (de uitwijking)

Wat zou ik uitkomen? is het dan een cirkel of een kettinglijn?

[jhnbk]

Ik bedoelde ook geen inklemming maar gewoon de balk belasten met twee momenten (koppels als je wil). Zijn dat de zogenaamde Macaulay functies?

Indien de zakkingen beperkt blijven kom je veeltermen uit, anders lijkt mij het niet oplosbaar te zijn.

[stoker]

Die naam ken ik niet, maar het ziet er naar uit dat het inderdaad Macaulay functies zijn.

En als ik er eens over nadenk, zie ik ook dat het gewoon veeltermfunctie moeten zijn. Nog iets anders dus.

[oktagon]

Ook weer in Wiki worden de moderne wiskundige systemen uit te doeken gedaan; diversen hebben het doel om berekeningen te vereenvoudigen om zodoende een antwoord te verkrijgen

Wat betreft Macaulay functies waarover jullie schreven:

Volgens gegevens maken deze functies deel uit van computer algebra,dan wel algebraische meetkunde en werden ontwikkeld om berekeningen van veeltermen eerst om te zetten naar eenvoudiger termen (singulair om het modern uit te drukken).

Deze problematiek kwam ik al tegen bij toepassen van QB4.5,waarbij bij oa.tralieliggerberekeningen er nogal lange berekeningen moesten worden ingevoerd.

Dit werkte moeilijk en moest er een herinvoering plaats vinden in een optelling van vereenvoudigde delen,waarna er een antwoord uit kwam rollen.

[jhnbk]

Als ik het goed voor heb ging de definitie als volgt:

\(\left\langle x- a \right\rangle ^p = \left \{\begin{array}[pos]{spalten} (x-a)^p \quad \quad x>a\\ 0 \quad \quad x \leq a\end{array} \right.\)