sciencetalk

Waarom hangt een ketting volgens een cosh(x) ?

Ik wil niet echt weten waarom, wel hoe je dat kunt aantonen

Ik weet niet meer precies hoe het zat en ik heb nu ook geen tijd om het uit te zoeken. Maar het gaat hier om een minimalisatie probleem, waarbij gebruik gemaakt wordt van de Euler vergelijking (ook wel Euler-Lagrange vgl, Euler's equation).

Ik weet haast zeker dat je het moet vinden op internet als je zoekt naar kettinglijn of catenary (zo wordt de vorm van de ketting genoemd) evt. in combinatie met Euler of klassieke mechanica.

heb het gevonden idd, maar als je die "Euler-Lagrange vgl" niet kent... Iemand die een korte uitleg kan geven?

hoe ze eraan gekomen zijn?

ik denk als volgt:

iemand nam de proef op de som, en keek hoe een slap hangenttouw hing, tekende de punten, en keek welke eigenschappen de lijn had(een parabool?(wat ik eerst dacht))

nee het bleek de eigenschappen te hebben van een cosh(x).

Ik zal een poging wagen met wat er in mijn boek staat ("Classical dynamics of particles and systems", Marion Thornton)

Je wil een integraal J minimaliseren. Deze is gegeven door:

J = _x1∫^x₂f(y(x),y'(x);x))dx

met y'(x)=dy/dx

Stel dat je een functie y(x) zou hebben die J minimaal maakt, dan moet een functie die in de buurt van y(x) zit, J vergroten. Deze buurfuncties definieren we als volgt:

y(α,x)=y(0,x)+αη(x), waarbij y(0,x)=y(x), de minimale functie

η(x) is continu differentieerbaar en 0 op x1 en x2.

J(α)=_x1∫^x₂f(y(α,x),y'(α,x);x))dx

J moet nu in het miminum niet afhangen van α in de afgeleide als α=0, dus ∂J/∂α|_α=0=0

voor alle functies η(x)

Dit geeft:

∂J/∂α=∂/∂α_x1∫^x₂f(y,y';x))dx

Grenzen zijn vast, dus:

∂J/∂α=_x1∫^x₂(∂f/∂y*∂y/∂α+∂f/∂y'*∂y'/∂α)dx

uit y(α,x)=y(0,x)+αη(x) volgt

∂y/∂α=η(x) en ∂y'/∂α=dη/dx

Dus:

∂J/∂α=_x1∫^x₂(∂f/∂y*η(x)+∂f/∂y'*dη/dx)dx

Partieel integreren van de tweede term (vallen weer wat termen weg, aangezien η=0 op x1 en x2, dit moet je zelf maar even narekenen)

∂J/∂α=_x1∫^x₂(∂f/∂y*η(x)-d/dx∂f/∂y'*η(x))dx=

_x1∫^x₂(∂f/∂y-d/dx∂f/∂y')η(x)dx

η(x) was een (bijna) willekeurige functie, en α=0, dus hieruit volgt:

∂f/∂y-d/dx∂f/∂y'=0 (dit is de Euler vgl)

waarbij y en y' de originele functies zijn, onafhankelijk van α

Nu is het dus zaak om een integraal op te stellen in x waarin y en y' in voor mogen komen.

Ditzelfde wordt ook toegepast bij de Lagrangiaan, de f is dan L=T-U

Ik hoop dat dit het duidelijk maakt.

Friendly Ghost schreef:Ik zal een poging wagen met wat er in mijn boek staat ("Classical dynamics of particles and systems", Marion Thornton)

Je wil een integraal J minimaliseren. Deze is gegeven door:

J = _x1∫^x₂f(y(x),y'(x);x))dx

met y'(x)=dy/dx

Stel dat je een functie y(x) zou hebben die J minimaal maakt, dan moet een functie die in de buurt van y(x) zit, J vergroten. Deze buurfuncties definieren we als volgt:

y(α,x)=y(0,x)+αη(x), waarbij y(0,x)=y(x), de minimale functie

η(x) is continu differentieerbaar en 0 op x1 en x2.

J(α)=_x1∫^x₂f(y(α,x),y'(α,x);x))dx

J moet nu in het miminum niet afhangen van α in de afgeleide als α=0, dus ∂J/∂α|_α=0=0

voor alle functies η(x)

Dit geeft:

∂J/∂α=∂/∂α_x1∫^x₂f(y,y';x))dx

Grenzen zijn vast, dus:

∂J/∂α=_x1∫^x₂(∂f/∂y*∂y/∂α+∂f/∂y'*∂y'/∂α)dx

uit y(α,x)=y(0,x)+αη(x) volgt

∂y/∂α=η(x) en ∂y'/∂α=dη/dx

Dus:

∂J/∂α=_x1∫^x₂(∂f/∂y*η(x)+∂f/∂y'*dη/dx)dx

Partieel integreren van de tweede term (vallen weer wat termen weg, aangezien η=0 op x1 en x2, dit moet je zelf maar even narekenen)

∂J/∂α=_x1∫^x₂(∂f/∂y*η(x)-d/dx∂f/∂y'*η(x))dx=

_x1∫^x₂(∂f/∂y-d/dx∂f/∂y')η(x)dx

η(x) was een (bijna) willekeurige functie, en α=0, dus hieruit volgt:

∂f/∂y-d/dx∂f/∂y'=0 (dit is de Euler vgl)

waarbij y en y' de originele functies zijn, onafhankelijk van α

Nu is het dus zaak om een integraal op te stellen in x waarin y en y' in voor mogen komen.

Ditzelfde wordt ook toegepast bij de Lagrangiaan, de f is dan L=T-U

Ik hoop dat dit het duidelijk maakt.

Wow! Danke! nen verstaanbaren uitleg

Klassieke mechanica schopt kont.

Edit: Ok je hebt gelijk Spooky-K dit is geen nuttige toevoeging aan het forum, mijn excuses. Maar het is wel waar.

StrangeQuark schreef:Klassieke mechanica schopt kont.

Edit: Ok je hebt gelijk Spooky-K dit is geen nuttige toevoeging aan het forum, mijn excuses. Maar het is wel waar.

Laten we het erop houden dat dit tenminste verstaanbaar is...

Als je wil kan ik de afleiding naar cosh(x) ook nog uitschrijven, die staat namelijk ook in hetzelfde boek, maar als je het zelf al hebt, dan ga ik er geen tijd in steken

Friendly Ghost schreef:Ik zal een poging wagen met wat er in mijn boek staat ("Classical dynamics of particles and systems", Marion Thornton)

..

.

Marion en Thornton zijn dan ook koningen...dat boek is gewoon top.

Haha en ik dacht dat het één naam was: Marion Thornton