Verwaarlozing

[kotje]

Is dx+(dx)²=dx?

[jhnbk]

Volgens mij is het als volgt:

In pure wiskunde waarschijnlijk niet. In toegepaste wiskunde (fysica en ingenieurswetenschappen) mag/kan je (dx)² verwaarlozen.

Bekijk het even met een voorbeeld:

Stel dat dx=0.01 dan is dx+(dx)² =0.0101 wat voor veel toepassingen (en zeker indien dx nog kleiner is) te verwaarlozen is.

[kotje]

Volgens mij is het als volgt:

In pure wiskunde waarschijnlijk niet. In toegepaste wiskunde (fysica en ingenieurswetenschappen) mag/kan je (dx)² verwaarlozen.

Bekijk het even met een voorbeeld:

Stel dat dx=0.01 dan is dx+(dx)² =0.0101 wat voor veel toepassingen (en zeker indien dx nog kleiner is) te verwaarlozen is.

Waarom verwaarloost men dikwijls in wiskundige afleidingen de tweede ordes. Is wiskunde dan toch niet zo exact als men beweert?

[Bartjes]

Waarom verwaarloost men dikwijls in wiskundige afleidingen de tweede ordes. Is wiskunde dan toch niet zo exact als men beweert?

Daar kan je een dik boek over schrijven. De differentiaal- en integraalrekening zijn in de loop van de tijd steeds strenger gefundeerd. Door middel van limietovergangen kwam men tot exacte definities. Daarbij zijn differentialen in de oorspronkelijke zin niet meer nodig. In de natuurkunde en techniek, waar men zich minder druk maakt over grondslagen, is men echter steeds met differentialen (in de zin van infinitesimale grootheden) blijven werken. Uiteindelijk zijn er ook in de wiskunde manieren gevonden om differentialen op een exacte manier te definiëren, zodat er precies mee kan worden gerekend. Zie:

http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_(mathematics)

Het meest in de buurt van de historische, oorspronkelijke betekenis van differentialen komen definities met behulp van de niet-standaard analyse en verwante systemen.

[TD]

Is dx+(dx)²=dx?

Nee, tenzij "dx" 0 is. Of misschien moet je eens uitleggen wat je precies met "dx" bedoelt...

[kotje]

Nee, tenzij "dx" 0 is. Of misschien moet je eens uitleggen wat je precies met "dx" bedoelt...

Oneindig klein van de eerste orde.Infinitesimaal 1ste orde.

[kotje]

Daar kan je een dik boek over schrijven. De differentiaal- en integraalrekening zijn in de loop van de tijd steeds strenger gefundeerd. Door middel van limietovergangen kwam men tot exacte definities. Daarbij zijn differentialen in de oorspronkelijke zin niet meer nodig. In de natuurkunde en techniek, waar men zich minder druk maakt over grondslagen, is men echter steeds met differentialen (in de zin van infinitesimale grootheden) blijven werken. Uiteindelijk zijn er ook in de wiskunde manieren gevonden om differentialen op een exacte manier te definiëren, zodat er precies mee kan worden gerekend. Zie:

http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_(mathematics)

Het meest in de buurt van de historische, oorspronkelijke betekenis van differentialen komen definities met behulp van de niet-standaard analyse en verwante systemen.

Toch wordt nu(zo maar) nog in massa's wiskundige bewijzen de tweede orde verwaarloost t.o.z eerste orde.

[TD]

In wiskundige bewijzen...? Misschien moet je eens een voorbeeld geven. Het heeft ook geen zin over "infinitesimalen" te spreken als je niet zegt in welke context je aan het werken bent. Binnen de reële getallen, heeft "dx + (dx)² = dx" geen zinvolle betekenis.

In de wiskunde maken we inderdaad vaak benaderingen, maar wat er overblijft is dan ook een benadering en niet exact gelijk aan het oorspronkelijke. Zo kan je een functie benaderen door z'n eerste orde Taylorveelterm, maar in een fatsoenlijke wiskundige tekst zal daar geen gelijkheidsteken staan. Maar misschien doel je niet op zulke benaderingen...?

Het goochelen met infinitesimalen is iets dat vroeger misschien gedaan werd, maar intussen hoeven we niet meer op dat soort trucjes te steunen om bewijzen van afgeleiden te geven, bijvoorbeeld. Binnen de klassieke analyse wordt er dan ook niet meer gespeeld met zo'n infinitesimalen - het kreeg wel een plaats in andere getalsystemen, zoals de hyperreële getallen.

[Bartjes]

Toch wordt nu(zo maar) nog in massa's wiskundige bewijzen de tweede orde verwaarloost t.o.z eerste orde.

Het beste is om gewoon wat van de moderne exacte definities van differentialen te bekijken, zodat je kan zien hoe zulke begrippen tegenwoordig op een exacte wijze kunnen worden gedefinieerd. Via de eerder gegeven link kan je daar info over vinden. Specifiek met betrekking tot je vraag is het ook grappig om dit te bestuderen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Smooth_infinitesimal_analysis

[kotje]

In wiskundige bewijzen...? Misschien moet je eens een voorbeeld geven. Het heeft ook geen zin over "infinitesimalen" te spreken als je niet zegt in welke context je aan het werken bent. Binnen de reële getallen, heeft "dx + (dx)² = dx" geen zinvolle betekenis.

In de wiskunde maken we inderdaad vaak benaderingen, maar wat er overblijft is dan ook een benadering en niet exact gelijk aan het oorspronkelijke. Zo kan je een functie benaderen door z'n eerste orde Taylorveelterm, maar in een fatsoenlijke wiskundige tekst zal daar geen gelijkheidsteken staan. Maar misschien doel je niet op zulke benaderingen...?

Het goochelen met infinitesimalen is iets dat vroeger misschien gedaan werd, maar intussen hoeven we niet meer op dat soort trucjes te steunen om bewijzen van afgeleiden te geven, bijvoorbeeld. Binnen de klassieke analyse wordt er dan ook niet meer gespeeld met zo'n infinitesimalen - het kreeg wel een plaats in andere getalsystemen, zoals de hyperreële getallen.

Ik vind nu direct geen voorbeeld waarin 2de orde infinitesimalen t.o.z. 1ste orde infinitesimalen verwaarloost worden in bewijzen. Hier op het forum zelfs is er één dat ik mij herinner maar niet te vinden . Hopelijk vind ik nog zo'n voorbeeld . Als ge het moet vinden, vindt ge het niet .

Wel heb ik het volgende gevonden: Een veranderlijke is een infinitesimaal als zijn limiet 0 is. Zij en 2 infinitesimalen, dan zeggen we dat :eusa_whistle: van hoger order is dan ](*,) (of zelfde order) als lim ](*,) / =0(of lim ](*,) / =l O).

Nu nemen we de gegeven uitdrukking en delen beide leden door dx en nemen lim dan krijgen we 1=1(dat laatste stoort mij een beetje). Alhoewel ik denk dat (dx)²/dx al nul geeft. Probeer me te vergeven als ik zever vertel, nu en dan doet een mens dit wel eens.

[TD]

Je kan gerust zeveren over wiskunde, maar in de wiskunde doet men het gewoonlijk met precieze formuleringen en daar heb je definities voor nodig. Of het waar is wat je oorspronkelijk vroeg, hangt dus af van hoe alles erin gedefinieerd is en in welk kader je aan het werken bent - vandaar dat ik het vroeg...

[kotje]

Je kan gerust zeveren over wiskunde, maar in de wiskunde doet men het gewoonlijk met precieze formuleringen en daar heb je definities voor nodig. Of het waar is wat je oorspronkelijk vroeg, hangt dus af van hoe alles erin gedefinieerd is en in welk kader je aan het werken bent - vandaar dat ik het vroeg...

In volgende link http://nl.wikipedia.org/wiki/Infinitesimaal vind ik 2x+dx=2x. Is dit genoeg om te beweren dat dx+(dx)²=dx?Misschien niet. Ik blijf zoeken naar voorbeelden van bewijzen waar men 2de orde termen verwaarloost t.o.z. 1ste orde termen.

[Bartjes]

Toch wordt nu(zo maar) nog in massa's wiskundige bewijzen de tweede orde verwaarloost t.o.z eerste orde.

In de wiskunde heeft men er honderden jaren over gedaan om de differentiaal- en integraalrekening netjes te funderen. Het verwaarlozen van (dx)² ten opzichte van dx kan je in oude leerboeken terugvinden. En wanneer je inderdaad het juiste gevoel voor verhoudingen hebt, gaat dat ook meestal goed. In de natuurkunde en techniek maakt men vaak schetsjes waarin infinitesimale afstanden, verplaatsingen, hoeken, blokjes e.d. voorkomen. Op grond daarvan worden dan formules of vergelijkingen opgesteld waarin bepaalde grootheden worden meegenomen maar andere worden verwaarloosd. Buiten de zuivere wiskunde zijn de ouderwetse differentialen dan ook nog springlevend. Hoe het er in de begintijd aan toeging kan je hier nalezen (maar er zijn véél meer boeken over):

http://books.google.nl/books?id=OLNeNIbD3j...;q=&f=false

http://books.google.nl/books?id=w3xKLt_da2...;q=&f=false

Je kan differentialen ook wel op een wiskundig verantwoorde manier definiëren (op verschillende manieren zelfs), maar dan zal je er toch echt in moeten duiken. Dat kan niet zo even makkelijk worden uitgelegd.

[kotje]

In de wiskunde heeft men er honderden jaren over gedaan om de differentiaal- en integraalrekening netjes te funderen. Het verwaarlozen van (dx)² ten opzichte van dx kan je in oude leerboeken terugvinden. En wanneer je inderdaad het juiste gevoel voor verhoudingen hebt, gaat dat ook meestal goed. In de natuurkunde en techniek maakt men vaak schetsjes waarin infinitesimale afstanden, verplaatsingen, hoeken, blokjes e.d. voorkomen. Op grond daarvan worden dan formules of vergelijkingen opgesteld waarin bepaalde grootheden worden meegenomen maar andere worden verwaarloosd. Buiten de zuivere wiskunde zijn de ouderwetse differentialen dan ook nog springlevend. Hoe het er in de begintijd aan toeging kan je hier nalezen (maar er zijn véél meer boeken over):

http://books.google.nl/books?id=OLNeNIbD3j...;q=&f=false

http://books.google.nl/books?id=w3xKLt_da2...;q=&f=false

Je kan differentialen ook wel op een wiskundig verantwoorde manier definiëren (op verschillende manieren zelfs), maar dan zal je er toch echt in moeten duiken. Dat kan niet zo even makkelijk worden uitgelegd.

Ik ben hoogstwaarschijnlijk van de oude school (diploma fysica R.U.G. 1965). Gij bedoelt dus dat ik wiskunde geleerd heb op een niet verantwoorde manier en nu differentialen worden gedefinieerd op een heel andere manier zodanig dat men zo'n zaken als bovenstaande niet meer heeft. Ik hoop dat ge gelijk hebt( de fundamenten zijn verandert maar de resultaten zijn in ieder geval dezelfde gebleven zoals ik op het forum gemerkt heb). Maar toch heb ik zo mijn twijfels. Ik ben geen wiskundige en heb geen tijd om de zaak te bestuderen. Daarom heb ik het antwoord elders gezocht en hoop eerdaags daar antwoord van te krijgen. Ik kom misschien koppig over maar als ik twijfel zoek ik antwoord op die twijfel.

[TD]

In volgende link http://nl.wikipedia.org/wiki/Infinitesimaal vind ik 2x+dx=2x. Is dit genoeg om te beweren dat dx+(dx)²=dx?Misschien niet.

Nee, in dat artikel is zelfs al te lezen hoe men dat tegenwoordig "netjes" doet. Het is wel mogelijk om op een "nette manier" te rekenen met infinitesimalen, maar dat doet men niet in de "klassieke analyse" (daar steunt men op limieten en epsilon/delta-formuleringen); wel in zogenaamde "niet-standaard analyse" - kijk bijvoorbeeld eens naar de hyperreële getallen.