1 van 1
Limiet bewijs
Geplaatst: zo 18 okt 2009, 10:03
door dirkwb
Stel dat
\( \lim_{ n \rightarrow \infty} a_n = L \)
bewijs dat:
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} = L\)
Hoe moet ik dit aanpakken?
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: ma 19 okt 2009, 19:45
door mathfreak
\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=L\)
betekent: bij een gegeven ε>0 is er een natuurlijk getal N met de eigenschap dat voor alle n>N geldt dat |a
n-L|<ε. Kijk eens of je aan de hand daarvan het bewijs kunt leveren.
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: ma 19 okt 2009, 22:08
door dirkwb
Voor een zeker grote n:
\(| \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} - \frac{nL}{n} | \leq \frac{1}{n} \left( |a_1-L|+...+ |a_{N-1}+|a_N-L|+...|a_n-L| \right) \)
\(= \frac{1}{n} \left( |a_1-L|+...+|a_{N-1}-L|+\epsilon+ ...+ \epsilon \right) \)
Maar wat moet ik met de linkersom voor alle n<N?
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: ma 19 okt 2009, 23:35
door Safe
Maar als n groot genoeg is, is |a1-L|/n toch ook kleiner dan een zekere ε1?
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: di 20 okt 2009, 09:04
door dirkwb
Maar als n groot genoeg is, is |a1-L|/n toch ook kleiner dan een zekere ε1?
Goed punt.
De laatste regel moet dus worden:
\(= \frac{1}{n} \left( |a_1-L|+...+|a_{N-1}-L|+\epsilon+ ...+ \epsilon \right) \leq \frac{1}{n}(n \epsilon_1) = \epsilon_1 \leq \epsilon \)
als
\( n \rightarrow \infty\)
Klopt het zo?
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: di 20 okt 2009, 11:31
door Safe
Ik denk niet dat dat lukt.
Neem eens:
\(a_n=L-t_n\)
dan is, met het gegeven:
\(\lim_{n\to\infty}a_n=L =>\lim_{n\to\infty}t_n=0\)
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: wo 21 okt 2009, 23:42
door Safe
Lukt dit niet?
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: do 22 okt 2009, 09:16
door dirkwb
Ik zie niet waarom dit nuttig is. Je trekt simpelweg L af van elke term, maar het gaat om de som van de termen.
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: do 22 okt 2009, 09:47
door Safe
Probeer het eens.
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: do 22 okt 2009, 11:31
door dirkwb
Definieer
\( a_n =L-t_n \)
dan geldt er:
\( \frac{1}{n}|a_1+...+a_n -nL| \leq \frac{1}{n} \left( |t_1| +...+|t_n| \right) \leq\frac{1}{n}( n \epsilon) =\epsilon\)
voor
\( n \rightarrow \infty \)
Klopt dit?
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: do 22 okt 2009, 13:23
door Safe
Ja. Maar waarom klopt het?
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: do 22 okt 2009, 14:34
door dirkwb
Ja. Maar waarom klopt het?
\( \frac{t_i}{n}\)
zal voor toenemende n willekeurig klein worden.
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: wo 28 okt 2009, 11:32
door PeterPan
Laat
\(\epsilon>0\)
zijn.
Kies
\(N>0\)
zó dat
\(|a_n-L| < \frac{\epsilon}{2}\)
voor
\(n > N\)
.
Kies vervolgens een
\(M>N\)
zó dat
\(|\frac{a_1+a_2+\cdots + a_N-NL}{n}|<\frac{\epsilon}{2}\)
voor
\(n>M\)
.
Dan is
\(|\frac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n} - L| \le |\frac{a_1+a_2+\cdots + a_N-NL}{n}| + |\frac{(a_{N+1}-L)+(a_{N+2}-L)+\cdots + (a_n-L)}{n}| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{n-N}{n}\frac{\epsilon}{2} < \epsilon\)
voor
\(n>M\)
.
C'est tout.
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: wo 28 okt 2009, 15:40
door dirkwb
PeterPan schreef:.
Kies vervolgens een
\(M>N\)
zó dat
\(|\frac{a_1+a_2+\cdots + a_N-NL}{n}|<\frac{\epsilon}{2}\)
voor
\(n>M\)
.
Waarom is het mogelijk een M te kiezen zodanig dat dit geldt? Ga je bij deze aanname er al niet vanuit dat de limiet voor de som (a_1+..+a_n)/n bestaat?
Re: Limiet bewijs
Geplaatst: wo 28 okt 2009, 15:49
door PeterPan
\(N\)
is een gekozen getal, dus de teller is een (vaste) constante. De noemer is variabel en kan zo groot gekozen worden als je zelf wilt.