Continuiteitsvergelijking
Geplaatst: za 13 mar 2010, 15:02
Hallo,
ik moet een essayopdracht maken, maar ik kom er niet helemaal uit. Ik vroeg me af, misschien kunnen jullie wat hints/hulp geven. Om een goed beeld te krijgen van de opdracht, even een korte samenvatting. Het beschrijven van een deeltje via schrodingervergelijk, met de kans P(ab) om het deeltje in interval (ab) aan te vinden. Bekeken wordt een draad langs de xas, met een (tijdafhankelijke) ladingsdichtheid \( \lambda(x,t)\) in C/m. De lading tussen x=a en x=b is gelijk op tijdstip t aan de functie: \(Q_{ab}(t)= \int^{b}_{a}\lambda(x,t) dx\)
-Ik heb als golffunctie \(\psi(x,t)\). En moet hieruit de kansdichtheid naar de tijd bepalen, via de schrodingervergelijking (en volgends mij ook zn complex geconjugeerde).
-dit resultaat moet ik vergelijken met de uitkomst van de veranderde ladingsdichtheid. de uitkomst van de veranderde ladingsdruk is mij echter wel gelukt, en staat hier beneden, al weet ik het niet zeker. Hierbij moesten we beredeneren dat geldt:\(\frac{\partial \lambda(x,t)}{\partial t}} + \frac{\partial j(x,t)}{\partial x}= 0\) vanuit \(\frac{dQ_{ab}(t)}{dt} = j(a,t) - j(b,t)\) .
Dit heb ik als volgt gedaan:
Aangezien er gebruikt word gemaakt van complexe getallen lijkt mij dat de je de kansdichtheid moet differentieren (deel van de opdr die ik niet helemaal door heb) dus:\( |\psi(x,t)|^{2} = \psi*(x,t)\psi(x,t) \) naar de tijd. waaruit je een soort vergelijking als dit eruit moet komen: \( \frac{\partial |\psi(x,t)|^{2}}{\partial t} +\frac{\partial j(x,t)}{\partial x} = 0\)
Anyways, HELP! Hoop dat iemand mij met de tussenstappen kan helpen en even kunt checken of bovenstaande correct is. Thanks!
ps. weet niet of ik het hier op de beste plek post, maar aangezien ik het over quantum gaat leek me dit kopje het beste op t forum.
ik moet een essayopdracht maken, maar ik kom er niet helemaal uit. Ik vroeg me af, misschien kunnen jullie wat hints/hulp geven. Om een goed beeld te krijgen van de opdracht, even een korte samenvatting. Het beschrijven van een deeltje via schrodingervergelijk, met de kans P(ab) om het deeltje in interval (ab) aan te vinden. Bekeken wordt een draad langs de xas, met een (tijdafhankelijke) ladingsdichtheid \( \lambda(x,t)\) in C/m. De lading tussen x=a en x=b is gelijk op tijdstip t aan de functie: \(Q_{ab}(t)= \int^{b}_{a}\lambda(x,t) dx\)
-Ik heb als golffunctie \(\psi(x,t)\). En moet hieruit de kansdichtheid naar de tijd bepalen, via de schrodingervergelijking (en volgends mij ook zn complex geconjugeerde).
-dit resultaat moet ik vergelijken met de uitkomst van de veranderde ladingsdichtheid. de uitkomst van de veranderde ladingsdruk is mij echter wel gelukt, en staat hier beneden, al weet ik het niet zeker. Hierbij moesten we beredeneren dat geldt:\(\frac{\partial \lambda(x,t)}{\partial t}} + \frac{\partial j(x,t)}{\partial x}= 0\) vanuit \(\frac{dQ_{ab}(t)}{dt} = j(a,t) - j(b,t)\) .
Dit heb ik als volgt gedaan:
\( \frac{dQ_{ab}(t)}{dt} = j(a,t) - j(b,t)\)
\( =\int^{b}_{a} \frac{\partial j(x,t)}{\partial x} dx\)
\( - \int^{b}_{a} \frac{\partial \lambda(x,t)}{\partial t} dx = \int^{b}_{a} \frac{\partial j(x,t)}{\partial x} dx \)
dus geldt: \( \frac{\partial \lambda(x,t)}{\partial t} + \frac{\partial j(x,t)}{\partial x} = 0 \)
Klopt dit? Aangezien er gebruikt word gemaakt van complexe getallen lijkt mij dat de je de kansdichtheid moet differentieren (deel van de opdr die ik niet helemaal door heb) dus:\( |\psi(x,t)|^{2} = \psi*(x,t)\psi(x,t) \) naar de tijd. waaruit je een soort vergelijking als dit eruit moet komen: \( \frac{\partial |\psi(x,t)|^{2}}{\partial t} +\frac{\partial j(x,t)}{\partial x} = 0\)
Anyways, HELP! Hoop dat iemand mij met de tussenstappen kan helpen en even kunt checken of bovenstaande correct is. Thanks!
ps. weet niet of ik het hier op de beste plek post, maar aangezien ik het over quantum gaat leek me dit kopje het beste op t forum.