Notering van functies

[kasper90]

Dit zijn de dingen die voor mij niet logisch overkomen:

1) Of een formule wordt geschreven als y = ... of als f(x) = ...

Waarom?

Waarom niet y(x) = ... en f = ...

2) Dit is de definitie van een functie in mijn boek:

"A function f is a rule that assigns to each element x in a set D exactly one element, called f(x), in a set E."

Mijn probleem is dit:

Ze hebben in het boek constant over een functie f. Op zich zit daar geen probleem aan. Je kan iets noemen zoals je het wilt. Maar als ik een functie probeer te begrijpen met betrekking tot de echte wereld lijkt het me logischer dat je het hebt over een functie f van x, of korter f(x).

Als we nou dit voorbeeld nemen:

"Een functie "De giftigheid van een paddenstoel" is een regel die een paddenstoel uit alle paddenstoelen verbind met zijn giftigheid nml. giftig of niet giftig.

Dit klinkt voor mij logisch.

Als je dit vertaalt in meer wiskundige verwoordingen door de volgende regels:

De giftigheid = f; De paddestoel = x; D = {p| alle paddenstoelen}; E = {G| giftig of niet-giftig}

Een functie f(x) is een regel die elk element x in a set D verbindt met precies één element f in een set E.

Oftewel, mij lijkt het logischer dat je het hebt over de functie f(x) en de output f, terwijl het boek dat constant andersom doet. Kan iemand mij de logica van het boek uitleggen?

[PeterPan]

Een functie is een afbeelding naar een lichaam, of een deel ervan (meestal is dat lichaam

\(\rr\)

of

\(\cc\)

).

Een functie kan afhangen van 1 of meer variabelen. Het hangt niet af van een variabelennaam.

Zo is

\(x \mapsto x^2\)

dezelfde functie als de functie

\(u \mapsto u^2\)

.

De juiste schrijfwijze van een functie in 1 variabele is

\(x \mapsto g(x)\)

, waar

\(g(x)\)

een uitdrukking is in één variabele (in dit geval de variabele

\(x\)

).

De functie

\(z \mapsto g(z)\)

korten we af met

\(g\)

.

Met functie

\(f\)

bedoelen we dus de functie

\(t \mapsto f(t)\)

(of zo je wilt

\(a \mapsto f(a)\)

), waarbij

\(f(A)\)

een uitdrukking is in variabele

\(A\)

.

In plaats van

\(g = x \mapsto g(x)\)

gebruiken we voor de duidelijkheid liever de notatie

\(g: c\mapsto g( c )\)

.

Om ook domein en bereik aan te geven kunnen we b.v. het volgende schrijven

\(g: \rr \to \rr : t \mapsto g(t)\)

.

In

\(g: \rr \to \cc : t \mapsto g(t)\)

is

\(t\)

een dummy.

Wat je hier op de plaats van de

\(t\)

kunt invullen wordt aangegeven door het domein

\(\rr\)

.

[PeterPan]

Notaties zoals

\( y = x+5\)

, waarbij altijd de namen

\(x\)

en

\(y\)

optreden zijn historische overblijfselen, dus uit een tijd van vóór de ontwikkeling van het functiebegrip.

De afspraak is dan steeds dat

\(y\)

een functie is van

\(x\)

.

We blijven deze archaïsche uitdrukkingswijze gebruiken.

Met

\(y = x+5\)

wordt impliciet bedoeld

\(y(x) = x + 5\)

.

\(y\)

is dus een functie in 1 variabele.

\(y: x \mapsto x+5\)

.

[TD]

Aanvullend/terzijde: in vele wiskundige teksten (boeken, websites, cursussen, hier op het forum...) wordt meestal niet zo strikt omgegaan met het onderscheid tussen een functie an sich en een functievoorschrift, de eigenlijke "regel" die toelaat om de functiewaarde te berekenen. Vaak is dat ook geen probleem en werken we gewoon met een functievoorschrift, toch wanneer het om 'rekenen' gaat.

[kasper90]

Ik snap het antwoord op mijn eerste vraag, dat is nu duidelijk.

Over mijn tweede vraag snap ik dit niet:

"Met functie f bedoelen we dus de functie t --> f(t) (of zo je wilt a-->f(a)), waarbij f(A) een uitdrukking is in variabele A."

Neem dit voorbeeld

Ik gebruik de volgende afkortingen:

r= straal van een circel

d= diameter van een circel

O = Opp. van een circel

r --> O(r )

Met de functie O bedoelen we dan r --> O(r )

De regel die input r met de output O verbindt is:

O(r )= pi r ^2

Maar op het moment dat we niet de straal van een circel meten, maar de diameter krijgen we andere regel:

O(d) = pi (1/2 d) ^2

Een andere regel geeft ook een andere functie, maar toch noemen we volgens mijn boek de functie opnieuw O.

Nu kan je wel de ene functie f noemen met:

f(r ) = pi r^2

En de andere functie g met:

g(d) = pi (1/2 d) ^2

Maar dit lijkt me onlogisch omdat de output waarde van de functie f en g met elkaar kan vergelijken, ze betekenen hetzelfde.

Daarom lijkt het mij logisch dat je een functie afkort tot O(r ) en O(d).

Een functie verbindt twee verschillende elementen via een regel met elkaar. Op het moment dat je de functie afkort, lijkt het mij logisch dat je op zijn minst beide elementen vernoemt in die afkorting.

[PeterPan]

Om beide oppervlakteformules van elkaar te onderscheiden kun je de notaties

\(O_d\)

en

\(O_r\)

gebruiken,

of nog duidelijker

\(O_{\mbox{radius}}\)

en

\(O_{\mbox{diameter}}\)

.

[PeterPan]

\(O_r(5) \ne O_d(5)\)

[kasper90]

Notaties zoals

\( y = x+5\)

, waarbij altijd de namen

\(x\)

en

\(y\)

optreden zijn historische overblijfselen, dus uit een tijd van vóór de ontwikkeling van het functiebegrip.

De afspraak is dan steeds dat

\(y\)

een functie is van

\(x\)

.

We blijven deze archaïsche uitdrukkingswijze gebruiken.

Met

\(y = x+5\)

wordt impliciet bedoeld

\(y(x) = x + 5\)

.

\(y\)

is dus een functie in 1 variabele.

\(y: x \mapsto x+5\)

.

Ik wil nog even terug komen op dit bericht.

Ik kwam toevallig op wikipedia een andere uitleg tegen over y en f(x).

http://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)

Als ik het goed heb begrepen, spreken ze jouw verhaal tegen.

Met

\(y = x+5\)

wordt niet

\(y(x) = x + 5\)

bedoelt.

Het verschil is dat je bij de eerste formule niet de naam van de functie noemt. Je laat dat in het midden.

Je vertelt alleen dat er een output y is, en een input x.

Bij de tweede formule wordt de naam van de functie wel duidelijk gegeven, nml. y. Er is echter geen apart symbool voor de output gegeven.

[PeterPan]

Laten we even de ontstaansgeschiedenis van de schrijfwijze in acht nemen.

Toen Euler de schrijfwijze

\(y = 2x + 3\)

voor een vergelijking van een lijn introduceerde dacht hij niet in termen van input en output. De wetenschappelijke taal was Latijn en later Frans. Dus input en output zijn Engelse computertermen waar Euler niets van begrepen zou hebben.

Euler dacht in termen van afhankelijkheden.

\(y\)

is afhankelijk van

\(x\)

. Als ik voor

\(x\)

een waarde invul past daar precies één waarde voor

\(y\)

bij.

In hedendaagse wiskundetaal spreken we dan van een functie.

De genoemde afhankelijkheid geef je tegenwoordig aan door de afhankelijke variabele tussen haakjes erbij te zetten,

dus niemand zal je erop aanspreken als je schrijft

\(y(x) = 2x+3\)

.

In de rubriek Notation doet ie het precies goed. Daarvoor is ie nogal slordig door

\(f(x)=x^2\)

een functie te noemen, terwijl ik hier toch duidelijk een functievoorschrift zie staan. Amerikanen zijn wel vaker nogal slordig. Maar het in ieder geval goed dat je op de Engelse wiki kijkt, want die is redelijk betrouwbaar in tegenstelling tot de Nederlandse.

[PeterPan]

Bij eenvoudige uitdrukkingen als

\(y = x+3\)

kun je denken aan

\(y(x) = x+3\)

.

Bij een uitdrukking als

\(xy -x = y^2+3x-2\)

kun je niet meer denken in termen van functies.

Je moet dit interpreteren als

\(\{(x,y) | xy -x = y^2+3x-2\}\)

.

Met het snijpunt van de lijnen

\(y=2x+3\)

en

\(y = x-2\)

wordt dus bedoeld

\(\{(x,y) | y=2x+3\} \cap\{(x,y)| y = x-2\}\)

[kasper90]

Okay, ik begin het beter te bergrijpen, maar bij elk antwoord komen er weer nieuwe vragen op.

Wat mij nu in verwarring brengt is het volgende.

Je hebt dus de zogenaamde onafhankelijke variabele, de afhankelijke variabele en de functie zelf (de regel).

In mijn boek is x meestal het symbool voor de onafhankelijke variabele, en f het symbool voor de functie.

Voor de afhankelijke variabele wordt geen apart symbool gebruikt maar wordt f(x) genoemd.

f(x), lees ik in deze context, pas de regel gedefinieerd in de functie f toe op het getal x

Maar in de context die jij geeft lees ik, y(x), als: De waarde van afhankelijke variabele y als de onafhankelijke variabele x is.

Is a in a(b) nu het symbool voor de functie, het symbool voor de afhankelijke variabele of staat het voor allebei?

[PeterPan]

De

\(a\)

in

\(a(x)\)

is een functie.

De woorden "afhankelijke variabele" en "onafhankelijke variabele" zijn overblijfselen van een ver verleden.

In de wiskunde worden ze niet meer gebruikt (We hebben immers het begrip functie).

Buiten de wiskunde, zoals in de natuurkunde worden de termen nog wel gebruikt. Als men eenmaal gewend is aan een notatie is het moeilijk overschakelen. Aangezien de oudere generatie, die moeite heeft met veranderen en er de noodzaak er niet van inziet, weer doorgeeft aan de jongere, leert ook de jongere generatie te werken met de oude begrippen en raken er ook weer mee vergroeid.

(Zie bijvoorbeeld de fossiele programmeertaal Fortran, dan nog steeds dé wetenschappelijke programmeertaal is (buiten de informatica)).

Vergelijk

\(s = vt\)

of

\(s_t = vt\)

met de wiskundige notatie

\(s(t) = v t\)

[kasper90]

In mijn boek "calculus early transcendentals" uit 2008 worden deze begrippen wel gebruikt:

A symbol that represents an arbitrary number in the domain of a function

is called an independent variable. A symbol that represents a number in the range of

is called a dependent variable.

Ik moet deze twee termen ook leren voor mijn tentamen :eusa_whistle:

Maar wat houdt het begrip functie dan precies in, waardoor je deze twee termen niet meer nodig hebt ?

[PeterPan]

Wat een functie is staat hiervoor uitvoerig uitgelegd. Blijkbaar vond de auteur van het boek het belangrijk om die oude begrippen te vermelden, omdat ze buiten de wiskunde gangbaar zijn.

Bedoeld is het volgende:

Als

\(f: [0,1] \to \rr: x \mapsto x^2\)

, dan is dus

\(f(x) = x^2\)

voor

\(0 \le x \le 1\)

.

Een willekeurig element van het domein, wordt een onafhankelijke variabele genoemd. Noem het

\(x\)

.

Dan is

\(y = f(x)\)

de bij die

\(x\)

behorende afhankelijke variabele.

Het functiebegrip heeft deze benamingen niet nodig. Ze zijn uit de oude doos, maar nog niet uitgeroeid. Oude gewoontes zijn hardnekkig.

Als je het handiger vindt kun je denken aan: bij input x geeft f een output y. Voor de moderne mens misschien wat makkelijker te begrijpen, maar historisch gezien op zijn minst een meerkwaardige uitspraak.

[kasper90]

Je hebt nog niet uitgelegd waarom de wiskunde deze benamingen niet nodig heeft in relatie met functies.

Bedoel je dat deze oude benamingen zijn ingewisseld voor nieuwe benamingen voor een willekeurig getal in het domein of het bereik.

Of bedoel je dat het niet nodig is om een naam te geven voor een willekeurig getal in het domein of het bereik?