Gravitatie

[Hieronymus]

Ik heb een probleem bij het berekenen van de ogenblikkelijke versnelling van de maan. Dit is mijn redenering:

Uit de literatuur vondt ik de volgende afleiding voor de hoeksnelheid:

1) De hoeksnelheid ω is de verandering van een hoek Φ per tijdsinterval Δt en is dus gelijk aan:

ω = ΔΦ / Δt

2) De afgelegde booglengte Δs op een baan met straal r is gelijk aan:

Δs = r. ΔΦ

De baansnelheid is de afgelegde afstand Δs per een tijdinterval Δt:

v = Δs/ Δt

Hieruit volgt:

v = r.ΔΦ/ Δt

3) Uit de opgestelde formules voor de hoeksnelheid en voor de baansnelheid volgt:

ω = ΔΦ / ( r.ΔΦ/v)

=> ω = ΔΦ.v / ( r.ΔΦ)

=> ω = v / r

=> v = ω.r

4) De omlooptijd T is nu over een voledige cirkelomtrek van 2П radialen.

v.T = Δs.r

=> v.T = Δs .r

=> v.T = 2П .r

=> ω.r.T = 2П .r

=> ω = 2П / T

Ik dacht dat de ogenblikkelijke versnelling a de afgeleide van de verandering in hoeksnelheid in de tijd was: a = v'

Dus kwam ik op:

ω'(T)= (2П / T)'

= ((2П)'.T- 2П.T')/T²

= -2П/T²

Nu bots ik op drie problemen/bedenkingen:

- Klopt mijn redenering of is de eigenlijke berekening complexer? Ik kom immers iets negatiefs uit.

- Hoe moet ik me dat voorstellen: een negatieve versnelling?

- Wat moet ik invullen bij T. Welke eenheid moet ik gebruiklen als ik a=-2П/T² concreet wil gaan gebruiken voor bv. de maan?

Kan er iemand mij helpen, a.u.b.?

[ZVdP]

w=2pi/T=cte

dus w'=0

a=v'=wr' (met r als vector natuurlijk)

[phoenixofflames]

\( \omega = \frac{d \theta}{dt}\)

\( \alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2 \theta}{dt^2}\)

\( \frac{dv}{dt} = \frac{d\omega}{dt}r + \omega \frac{dr}{dt} \)

als r constant is, vb. cirkelbeweging

\( a = \frac{dv}{dt} = \alpha r\)

met alpha de hoekversnelling.

[phoenixofflames]

Het punt is net dat bij een eenparige cirkelvormige beweging, de periode constant is. Dus T(t) = cst zoals hierboven aangetoond.

Je maakt trouwens een fout bij w'. Je moet de kettingregel toepassen.

dw/dt = (dw/dT)*(dT/dt). Als de periode niet van de tijd afhangt is w' = dw/dt = 0. Dus voor een cirkelvormige beweging is dT/dt = 0 en dus dw/dt = 0 en dus omega constant.

Een negatieve versnelling zou betekenen dat je vertraagt. Maar je kan niet weten of je versnelling negatief is als je niet weet wat de functie T(t) is.

De eenheid zou zijn 1/s² aangezien de periode T uitgedrukt wordt in seconden.

Je haalt hier de hoekversnelling en de gewone versnelling dooreen.

[phoenixofflames]

Dit geldt wel alleen als de hoeksnelheid loodrecht op r staat ( zoals bij een cirkelbeweging)

[thermo1945]

ω'(T)= (2П / T)' = -2П/T²

Wat zou ik me moeten voorstellen bij de afgeleide van ω naar T? Naar t begrijp ik: de hoekversnelling.

w=2pi/T=cte dus w'=0

De hoeksnelheid van de maan is niet constant, omdat zijn baan een ellips is.

[ZVdP]

De hoeksnelheid van de maan is niet constant, omdat zijn baan een ellips is.

Ik ben ermee akkoord dat de maan niet exact een constante hoeksnelheid heeft, maar je kan een ellips ook doorlopen met constante hoeksnelheid. De verkalring is dus eerder de tweede wet van Keppler en niet zozeer de ellips.

\( \frac{dv}{dt} = \frac{d\omega}{dt}r + \omega \frac{dr}{dt} \)

als r constant is, vb. cirkelbeweging

\( a = \frac{dv}{dt} = \alpha r\)

Zou Hieronymus niet eerder geïnteresseerd zijn in de vectoriële versnelling? En dus de eerste term op nul stellen en juist de tweede behouden?

Anders ga je nagenoeg 0m/s² krijgen.

[Hieronymus]

Dankuwel voor de snelle reacties, maar ik blijf toch nog met wat vragen zitten:

- Ik begrijp die vectoriële versnelling niet. Wat kan dat aan het resultaat veranderen?

- Is het dan correct om te zeggen:

De ogenblikkelijke hoekversnelling α is de afgeleide van de hoeksnelheid in de tijd t :

α' = ω'/t' = Φ' / (t²)'

De ogenblikkelijke versnelling a is de afgeleide van de verandering in snelheid in de tijd t :

a' = v'/t'= (r. ω)'/t'= (r'. ω)/t' + (r. ω')/t' = (r. ω')/t' = r. (ω'/t') = r. α

-Is de versnelling van de maan nu constant? Hoe weet je dat?

[ZVdP]

De versnelling is:

\( \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \frac{d\overrightarrow{\omega}}{dt}\times\overrightarrow{r} + \overrightarrow{\omega}\times\frac{d\overrightarrow{r}}{dt} \)

Als je de baan van de maan beschrijft als een cirkel, dan verdwijnt

\(\frac{d\overrightarrow{\omega}}{dt}\)

, aangezien

\(\omega\)

dan een constante grootte en richting heeft.

\(\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\)

blijft, aangezien

\(\overrightarrow{r}\)

constant verandert van richting.

[Hieronymus]

Hoe kan ik de vectoriële versnelling concreet maken met een cijfervoorbeeld voor de maan bijvoorbeeld?

[ZVdP]

Maak bijvoorbeeld gebruik van poolcoördinaten:

\( \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}= \frac{dr}{dt}\overrightarrow{1_r}+r \frac{d\theta}{dt}\overrightarrow{1_\theta}\)

\(\theta=\theta(\omega,t)\)

Nu is het enkel invulwerk.

Edit: Je kan het natuurlijk veel eenvoudiger uitrekenen met

\(\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}\)

[Hieronymus]

Kan er iemand op secundair school- niveau uitleggen wat ik met die poolcoördinaten moet doen. Ik denk nog onvoldoende kennis te hebben om dat op te lossen.

[ZVdP]

Als je nog niet bekend bent met poolcoördinaten, en gewoon op en eenvoudige manier de versnelling van de maan wil uitrekenen, gebruik je volgens mij best simpelweg:

\(|a|=\frac{F}{a}\)

waarbij je F bepaalt aan de hand van de gravitatie van de aarde op de maan.

Wil je toch de versnelling berekenen aan de hand van de hoeksnelheid van de maan, gebruik je volgende formule, die je kan afleiden mbv poolcoördinaten (poolcoördinaten):

\(|a|=r\omega^2\)

Je kan deze ook vinden door in carthesische coördinaten een cirkelbeweging voor te stellen:

\(x=rcos(\omega t)\)

\(y=rsin(\omega t)\)

Om de versnelling te bekomen moet je de vergelijkingen twee keer afleiden. Ga eens na of je dezelfde vergelijking vindt

\(|a|=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2}=r\omega^2\)

?

[Hieronymus]

- Hoe kom je aan a= F/a? En wat is het verschil tussen de twee a 's?

- Hoe kom je aan een vergelijking met de versnelling erin, vertrekkend van een cartesiaans stelsel?

En als je die vergelijking hebt, waarom moet je die dan twee keer afleiden?

[ZVdP]

Typfoutje, moet natuurlijk a=F/m zijn.

Je stelt een vergelijking op voor x en y.

\(x=f(t)\)

\(y=g(t)\)

\(v_x(t)=\frac{d}{dt}f(t)\)

\(v_y(t)=\frac{d}{dt}g(t)\)

\(a_x(t)=\frac{d}{dt}v_x(t)\)

\(a_y(t)=\frac{d}{dt}v_y(t)\)

\(|a(t)|=\sqrt{{a_x(t)}^2+{a_y(t)}^2}\)