Om de Schrödinger vergelijking op te stellen, heb je geen impulsoperator nodig.
Een mogelijke redenering gaat als volgt:
We stellen dat een deeltje beschreven wordt door een golf.
\(\Psi(\overightarrow{r},t)=\Psi_0e^{i(\overrightarrow{k}\overrightarrow{r}-\omega t)}\)
Dit kunnen we herschrijven door gebruik te maken van
\(E=\hbar\omega\)
en
\(p=\hbar k\)
naar:
\(\Psi(\overrightarrow{r},t)=\Psi_0e^{\frac{i}{\hbar}(\overrightarrow{p}\overrightarrow{r}-Et)}\)
Vervolgens gebruiken we de (niet relativistische) formule die energie linkt met impuls:
\(E=\frac{mv^2}{2}=\frac{p^2}{2m}\)
We gaan nu deze dispersierelatie opleggen aan onze golffunctie:
Eerst E voortbrengen
\(\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar}E\Psi\)
of:
\(E\Psi=i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}\)
Nu p
2/2m voortbrengen:
\(\Delta\Psi=-\frac{p^2}{\hbar^2}\Psi\)
of:
\(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi=\frac{p^2}{2m}\Psi\)
De dispersierelatie opleggen levert nu:
\(i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi\)
Voila, de Schrödinger vergelijking (zonder de potentiaal term) afgeleid, zonder gebruik te maken van de impulsoperator.
Achteraf kunnen we dan de impulsoperator berekenen zoals in mijn vorige post vanuit deze vorm van de Schrödinger vergelijking. Deze operator kunnen we dan invoeren in de ¨Schrödinger vergelijking om de notatie een beetje te vereenvoudigen.
