sciencetalk

Het gaat om volgende opgave waar ik niet helemaal aan uit geraak:

[attachment=6354:Oefening...de_plaat.jpg]

Veralgemeende coördinaten:

$\rho$
: loodrechte afstand van het deeltje met massa m tot de z-as.
$z$
: cartesische z-coördinaat van het deeltje met massa m.
$\theta$
: hoek die de plaat maakt met het xz-vlak.

a) Lagrangevergelijkingen opstellen.

Coördinaten van het deeltje met massa m.

$\left\{ \begin{array} {lll}x_{m} = \rho \cos \theta \\y_{m} = \rho \sin \theta \\z_{m} = z \\\end{array}\right.$

Coördinaten van het zwaartepunt van de rechthoekige plaat met massa M.

$\left\{ \begin{array} {lll}x_{M} = a \cos \theta \\y_{M} = a \sin \theta \\z_{M} = b \\\end{array}\right.$

Afgeleiden naar de tijd van de coördinaten van het deeltje met massa m.

$\left\{ \begin{array} {lll}\.{x}_{m} = \dot{\rho} \cos \theta - \rho \sin \theta \dot{\theta}\\\.{y}_{m} = \dot{\rho} \sin \theta + \rho \cos \theta \dot{\theta} \\\.{z}_{m} = \.{z} \\\end{array}\right.$

Afgeleiden naar de tijd van de coördinaten van het zwaartepunt van de rechthoekige plaat met massa M.

$\left\{ \begin{array} {lll}\.x_{M} = -a \sin \theta \\\.y_{M} = a \cos \theta \\\.z_{M} = 0 \\\end{array}\right.$

Traagheidsmoment van de plaat

$I_{plaat}$

rond de z-as:

$ I_{plaat} = \frac{4}{3}a^2M $

Hoeksnelheid van de plaat

$\omega_{plaat}$

rond de z-as:

$ \omega_{plaat} = \dot{\theta} $

Gegeven relatie tussen de massa m van het deeltje en de massa M van de plaat:

$m = \frac{4}{3}M$

Uit de voorgaande vergelijkingen kan de totale kinetische energie T van het systeem als volgt berekend worden:

$T = \frac{1}{2}mv_m^2 + \frac{1}{2}Mv_M^2 + \frac{1}{2}I_{plaat}\omega_{plaat}^2$

$T = \frac{1}{2}m(\.{x}_{m}^2 + \.{y}_{m}^2 + \.{z}_{m}^2) + \frac{1}{2}M(\.{x}_{M}^2 + \.{y}_{M}^2 + \.{z}_{M}^2) + \frac{1}{2}I_{plaat}\omega_{plaat}^2$

$T = \frac{1}{2} \frac{4}{3} M(\dot{\rho}^2 + \rho^2\dot{\theta}^2 + \.{z}^2) + \frac{1}{2}M(a^2\dot{\theta}^2) + \frac{1}{2} \frac{4}{3} a^2M \dot{\theta}^2$

$T = \frac{2}{3}M(\dot{\rho}^2 + \rho^2\dot{\theta}^2 + \.{z}^2) + \frac{7}{6} Ma^2\dot{\theta}^2$

De potentiële energie V van het systeem:

$V = mgz + Mgb = \frac{4}{3}Mgz + Mgb = Mg(\frac{4}{3}z+b)$

Uit de twee voorgaande vergelijkingen volgt de Lagrangiaan L van het systeem:

$L = T - V = \frac{2}{3}M(\dot{\rho}^2 + \rho^2\dot{\theta}^2 + \.{z}^2) + \frac{7}{6} Ma^2\dot{\theta}^2 - Mg(\frac{4}{3}z+b)$

$\theta$

blijkt een cylcische coördinaat te zijn, dus is de bijbehorende veralgemeende impuls

$p_{\theta}$

een constante grootheid.

Nu kunnen de bewegingsvergelijkingen van Lagrange opgesteld worden.

$\left\{ \begin{array} {lll}${\displaystyle \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0}$ \\\\${\displaystyle \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial\dot{z}}) - \frac{\partial L}{\partial z} = 0}$ \\\\${\displaystyle \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial\dot{\rho}}) - \frac{\partial L}{\partial \rho} = 0}$ \\\end{array}\right.$

Uitwerken:

$\left\{ \begin{array} {lll}\frac{d}{dt}(\frac{4}{3}M\rho^2\dot{\theta} + \frac{7}{3}Ma^2\dot{\theta}) = 0 \\\\\frac{d}{dt}(\frac{4}{3}M\.{z}) + \frac{4}{3}Mg = 0 \\\\\frac{d}{dt}(\frac{4}{3}M\dot{\rho}) - \frac{4}{3}M\dot{\theta}^2\rho = 0 \\\end{array}\right.$

Uiteindelijke oplossingen voor de Lagrangevergelijkingen:

$\left\{ \begin{array} {lll}8\rho\dot{\rho}\dot{\theta} + 4 \rho^2\ddot{\theta} + 7a^2\ddot{\theta} = 0 \\\\\ddot{z} = -g \\\\\ddot{\rho} - \dot{\theta}^2\rho = 0\\\end{array}\right.$

b) Hamiltoniaan H en bijbehorende vergelijkingen bepalen.

Dit is ook gelukt. Ik ga ze niet helemaal uitschrijven omdat ik vermoed ze niet nodig te hebben voor vragen c) en d).

c) 2 behoudswetten bepalen.

Uit de vergelijking

$\frac{d}{dt}(\frac{4}{3}M\rho^2\dot{\theta} + \frac{7}{3}Ma^2\dot{\theta}) = 0$

volgt dat

$\frac{4}{3}M\rho^2\dot{\theta} + \frac{7}{3}Ma^2\dot{\theta}$

een constante is, dit systeem voldoet dus aan behoud van impulsmoment.

Voor de tweede behoudswet vermoed ik behoud van energie. Ik zou dit kunnen aantonen door aan te tonen dat de Hamiltoniaan H gelijk is aan de totale energie

(

$H = T + V$

), wat immers enkel geldt voor een conservatief systeem. Ik vermoed echter dat er een elegantere manier moet zijn om dit aan te tonen. Iemand een idee hoe?

d) z(t) bepalen en de gelijkheid

$\dot{\rho}^2 = 2a^2\omega_0^2(\frac{\rho^2-a^2}{\rho^2+a^2})$

aantonen.

Gegeven:

$ \omega(0) = \omega_{0} $
$ x_{m}(0) = a \cos \theta $
$ y_{m}(0) = a \sin \theta $
$ z_{m}(0) = b $
$ v(0)=0$

i.

$ z(t) $

volgt uit 2 keer de vergelijking

$\ddot{z} = -g$

te integreren naar de tijd en de correcte beginvoorwaarden in te vullen.

$\ddot{z}(t) = -g$

$\dot{z}(t) = -gt +v(0)$

$\dot{z}(t) = -gt$

$z(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + z(0) $

$z(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + b $

ii.

Deze gelijkheid moet wellicht aangetoond worden vanuit de vergelijkingen van Lagrange en de gegeven beginvoorwaarden. Iemand een idee hoe je dit aantoont?

sciencetalk

Roterende plaat met deeltje

Roterende plaat met deeltje