sciencetalk

Stelling IX

Gegeven twee ongelijke lichamen die recht op elkaar afgaan, waarvan elk beweegt, of slechts één, en gegeven de snelheid van elk van beide, of van het ene, als het andere in rust is; te vinden de snelheden waarmee beide na de ontmoeting bewegen.

L

aat het lichaam A naar rechts bewegen met de snelheid AD; {Zie Fig. 15.} en laat B òf in tegengestelde richting bewegen, of in dezelfde richting voorgaan met de snelheid BD, of tenslotte in rust zijn, dat is: punt D valt in B. Hun snelheid ten opzichte van elkaar zal dus zijn AB.

[ 67 ]

Verdeel AB in C, zodanig dat AC tot CB is zoals B tot A in grootte, en neem CE gelijk aan CD. Ik zeg dat EA |387| de snelheid zal zijn van lichaam A na de ontmoeting, en EB van lichaam B, en dit in dezelfde richting als de volgorde aangeeft van de punten E A, E B. Indien punt het E in A valt, zal lichaam A tot rust gebracht worden, en als E in B valt, zal B in rust blijven.

Als we namelijk aangetoond zullen hebben dat dit zo gebeurt op een schip dat met eenparige snelheid voortgaat, zal vaststaan dat het ook voor iemand die aan land staat op dezelfde wijze zal uitvallen. We stellen ons dus voor dat dichtbij de oever van een rivier een schip vaart, waarin een opvarende staat die met de handen F en G de bollen A en B draagt, aan draden opgehangen, die hij door ze aldus te bewegen met de snelheden AD en BD (dit ten opzichte van hem en het schip) laat samenkomen in het punt D; en het schip wordt verondersteld verder te gaan met de snelheid DC, in die richting die de volgorde van de punten D en C aangeeft.

Dan zal de uitkomst zijn dat, ten opzichte van de oever en de toeschouwer die daar staat, bol A beweegt met snelheid AC naar rechts, omdat hij ten opzichte van het schip de snelheid AD had. En bol B zal, daar hij op het schip de snelheid BD had, ten opzichte van de oever de snelheid BC naar links hebben.

Maar indien nu de toeschouwer die op de oever staat met zijn handen H en K de handen F en G van de opvarende pakt (en daarmee de uiteinden van de draden waaraan de lichamen A en B hangen), dan blijkt dat, terwijl de opvarende ze ten opzichte van zichzelf beweegt met de snelheden AD en BD, tegelijkertijd degene die op de oever staat, ze ten opzichte van zichzelf en de oever beweegt met de snelheden AC en BC. En daar deze snelheden in omgekeerde verhouding zijn met hun grootten, is het noodzakelijk dat de lichamen A en B, ten opzichte van deze toeschouwer, van de aanraking terugspringen met dezelfde snelheden CA en CB, zoals in het voorgaande bewezen was [<].

[ 69 ]

Doch het schip gaat steeds voort met snelheid DC of CE, en dit naar de volgorde van de punten C E; dus is het noodzakelijk dat A, ten opzichte van de boot en de opvarende, beweegt met snelheid EA, in die richting die de volgorde der punten E A aangeeft. B evenwel, ten opzichte |388| van deze boot, met snelheid EB, evenzo naar de volgorde der punten E B. Doch wanneer E in A of B valt, blijkt lichaam A of B na de ontmoeting met even grote snelheid als het schip zelf te gaan, in dezelfde richting; waaruit volgt dat ze in die gevallen ten opzichte van schip en opvarende in rust moeten zijn.

We hebben dan ook aangetoond dat de lichamen A en B, die op het schip naar de ontmoeting bewogen met de snelheden AD en BD, na de ontmoeting op dit schip bewegen met de snelheden EA en EB, naar de volgorde van deze punten. En wat op een schip gebeurt, daarvan is zeker (zoals we gezegd hebben) dat het dezelfde afloop heeft voor iemand die aan land staat. Dus staat het gestelde vast.

En met het oog op de berekening kunnen we uit de constructie van dit probleem de volgende regels opstellen.

Als er twee lichamen A en B zijn, waarvan elk beweegt: om de snelheid te vinden van lichaam A na de stoot moet het zo zijn dat, zoals de som van de lichamen tot het dubbele van lichaam B, zo de snelheid is die ze ten opzichte van elkaar hebben, tot een andere snelheid die C genoemd wordt. Het verschil tussen deze C en de snelheid van het lichaam A voor de stoot — of in één geval hun som, namelijk wanneer A bij de beweging voorop gaat — geeft de snelheid waarmee dit na de ontmoeting zal bewegen, en wel teruggaand als het overschot bij C ligt, maar voortgaand als het andersom is. En als er geen verschil is, zal lichaam A na de ontmoeting in rust zijn.

En als de snelheid van lichaam A gevonden is, is ook de snelheid van lichaam B bekend, uit het feit dat de snelheid van de lichamen ten opzichte van elkaar voor en na de ontmoeting dezelfde moet zijn.

[ 71 ]

Als gegeven is dat lichaam A in rust is, en alleen B er naartoe beweegt, blijkt de snelheid van A na de ontmoeting gelijk te zijn aan de snelheid C, zoals gevonden naar wat we gezegd hebben. En hieruit is ook het volgende theorema af te leiden.