\(D\)
gedefinieerd als volgt:\((x+1)^2 + (y+1)^2 \leq 1 \wedge x + y \geq -2 \wedge y \geq - 1\)
Nu vond ik het irritant dat om de bovenstaande formule om te schrijven naar poolcoordinanten aangezien ik dan sinus-en en cosinus-en krijg in het kwadraat, \(x = r\cdot\cos(\theta)\)
, \(y = r\cdot\sin(\theta)\)
, \(x^2+y^2 = r^2\)
. Ik heb dus het gedefinieerde cirkelsector verplaatst naar de oorsprong:\(x^2 + y^2 \leq 1 \wedge x + y \geq 0 \wedge y \geq 0\)
[attachment=7710:MSP22851...553afibe.gif]intermezzo --
Weten we de formule voor de oppervlakte van de cirkelsector:
\(opp = \frac{1}{2}r^2\theta\)
\(\theta\)
is 90 graden plus de hoek van \(x + y = 0\)
die hij maakt met de y-as, 45 graden. Dus \(\theta = \frac{3\pi}{4}\)
. De straal is gewoon \(1\)
. De oppervlakte is dus: \(opp = \frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot\frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{8}\)
Nu moet ik echter de oppervlakte bepalen m.b.v. dubbel integreren. Nu heb ik het volgende, eerst integreren naar de straal en vervolgens naar de hoek.\(\iint_D \textup{d}A = \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \int_{0}^{1} r^2\cdot r\textup{d}r\textup{d}\theta = \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \int_{0}^{1} r^3\textup{d}r\textup{d}\theta = \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \left[\frac{1}{4}r^4\right]^{1}_{0}\textup{d}\theta = \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{4}\textup{d}\theta = \left[\frac{1}{4}\theta\right]^{\frac{3\pi}{4}}_{0} = \frac{3\pi}{16}\)
Zoals je ziet komt mijn antwoord niet overheen met het bovenstaande antwoord. Ergens komt er een factor \(\frac{1}{2}\)
bij. Alleen zie ik niet wat ik fout doe... Hopelijk dat iemand hem kan aanwijzen.
)=1 volgens jouw gegeven.
