Ik geef nog een alternatieve manier die je misschien wat inzicht geeft in hoe je zelf op bewijsjes kan komen.
Probeer eerst intuïtief te begrijpen waarom de limiet inderdaad 0 is. Voor x tussen 0 en 1 vond je dat al duidelijk, kijk eens wat er gebeurt voor x > 1. In de teller krijg je n factoren van deze x, in de noemer krijg je ook n factoren maar van de vorm 1*2*...*n. Zo lang n < x, is de teller duidelijk groter (want elke factor is groter). Maar je neemt de limiet voor n naar oneindig dus hoe groot x ook is, x is vast, ooit zal n groter worden dan x. Vanaf dat moment worden de factoren in de noemer allemaal groter dan de bijkomende factoren in de teller. Dit zou inspiratie kunnen geven: dat 'moment' is wellicht van belang want vanaf dan begint de noemer (niet onmiddellijk, maar stilaan...) te domineren.
Even in formules gieten: stel x > 0 (negatief kan je analoog doen of in een keer door wat te prutsen met absolute waarden) en kies een natuurlijk getal k zodat k > x. In dat geval is x/k < 1 en gaat (x/k)
n dus zeker naar 0. Dat weet je wellicht wel? Meer is er eigenlijk niet nodig. Een beetje herschrijven en afschatten:
\(\frac{{{x^n}}}{{n!}} = \frac{{{x^n}}}{{\underbrace{1.2.\cdots.(k-1).k}_{k!}.{\left( {k + 1} \right).\left( {k + 2} \right). \cdots .n}}} = \frac{{{x^n}}}{{k!\underbrace{{\left( {k + 1} \right).\left( {k + 2} \right). \cdots .n}}_{\ge k^{n-k}}}} \le \frac{{{x^n}}}{{k!{k^{n - k}}}} = \frac{{{k^k}}}{{k!}}{\left( {\frac{x}{k}} \right)^n}\)
In de stap van de afschatting vervang je elke factor vanaf k+1 tot en met n door k; deze k is nog steeds groter dan x maar je maakt hierdoor de noemer kleiner dus de breuk groter. Je kan dan handig de factor (x/k)
n afzonderen en de factor die ervoor staat, k
k/k!, is mogelijk 'heel groot', maar wel constant en eindig. Neem nu de limiet:
\(0 \le \frac{{{x^n}}}{{n!}} \le \frac{{{k^k}}}{{k!}}{\left( {\frac{x}{k}} \right)^n}\xrightarrow{{n \to \infty }}0\)
. Je kunt er echt wel zo geraken. Snap je nu alvast waar je eerst vast liep?