sciencetalk

Kan iemand mij helpen met de volgende vraag:

de rij {a_n} wordt gegeven door:

a₁=0, a_n+1=wortel(1+2a_n), n=1,2,3,....

Toon met behulp van van volledige inductie aan dat de rij {a_n} stijgend is.

Zelf had ik bedacht dat als hij stijgend is, geldt:

a_n+1 > a_n

en dus wortel(1+2a_n) > a_n

verder loop ik helemaal vast.

Begin al eens met te zeggen wat (volledige) inductie is, en vertaal het naar deze situatie.

Stel {P(n)} is de uitspraak die bewezen moet worden. Als bewezen wordt dat:

1. P(n) is waar, met n het kleinst mogelijke getal dat ingevoerd kan worden.

2. P(n+1) is waar, ervan uitgaande dat P(n) waar is.

Dan is {P(n)} waar voor elke n.

Bewijs:

1. n=1:

a₂ = wortel(1+(2*0)) = 1

1>0, dus het klopt.

En verder kom ik niet echt.

En wat is P(n) in dit geval ?

Bepaal ook a2 en a3 ...

P(n) = a_n+1 > a_n

a₂ = 1

a₃ = wortel(3)

Kan ik niet het volgende doen?

2. (We nemen aan dat P(n) klopt.)

n+2:

a_n+2 > a_n+1

wortel(1+2a_n+1) > wortel(1+2a_n)

dit kan omgeschreven worden tot

wortel(1+2a_n) > a_n

=

a_n+1 > a_n

dus bewezen.

Ik zie niet helemaal wat je doet, maar waarom niet zo?

Nesta schreef:P(n) = a_n+1 > a_n

a₂ = 1

a₃ = wortel(3)

Kan ik niet het volgende doen?

2. (We nemen aan dat P(n) klopt.)

n+2:

a_n+2 > a_n+1

wortel(1+2a_n+1) > wortel(1+2a_n)

dit kan omgeschreven worden tot

wortel(1+2a_n) > a_n

=

a_n+1 > a_n

dus bewezen.

2. (We nemen aan dat P(n) klopt.) Dus onder het gegeven dat a_n+1 > a_n, te bewijzen a_n+2 > a_n+1

n+2:

a_n+2 =wortel(1+2a_n+1) > wortel(1+2a_n)=a_n+1 Klaar!

dit kan omgeschreven worden tot

wortel(1+2a_n) > a_n

=

a_n+1 > a_n Dit is je gegeven

Graag je commentaar.

Wat moet je verder bewijzen?

Safe schreef:2. (We nemen aan dat P(n) klopt.) Dus onder het gegeven dat a_n+1 > a_n, te bewijzen a_n+2 > a_n+1

n+2:

a_n+2 =wortel(1+2a_n+1) > wortel(1+2a_n)=a_n+1 Klaar!

dit kan omgeschreven worden tot

wortel(1+2a_n) > a_n

=

a_n+1 > a_n Dit is je gegeven

Graag je commentaar.

Wat moet je verder bewijzen?

Ik snap niet zo goed wat je bedoeld te zeggen. Wat precies klopt niet wat ik gedaan heb?

EvilBro schreef:Ik zie niet helemaal wat je doet, maar waarom niet zo?

\(a_{n+1} > a_n\)

\(2 a_{n+1} > 2 a_n\)

\(1+2 a_{n+1} > 1+2 a_n\)

\(\sqrt{1+2 a_{n+1}} > \sqrt{1+2 a_n}\)

\(a_{n+2} > a_{n+1}\)

Dit lijkt inderdaad wel te kloppen!

[quote='Nesta' date='25 February 2012, 13:48' post='720600']

Ik snap niet zo goed wat je bedoeld te zeggen. Wat precies klopt niet wat ik gedaan heb?

/quote]

Ik heb niet gezegd dat er iets niet klopte. Ik miste de logische stappen.

Je gegeven: ...

Wat wil je aantonen: ...

Je eindigt met je gegeven, dat is merkwaardig ...

Je zou moeten eindigen met: dus blijkt a_(n+2)>a_(n+1)

En Evilbro doet het je voor.

Je eindigt met je gegeven, dat is merkwaardig ...

Zo merkwaardig vind ik dat niet. Als je begint met het te bewijzen en je kunt een logisch pad vinden naar hetgeen is gegeven dan is dat natuurlijk ook prima.

@Nesta.

Start eens met a_0=3, a_1= ... , enz.

Wat merk je op?

Kan je dat bewijzen?

Safe schreef:Ik heb niet gezegd dat er iets niet klopte. Ik miste de logische stappen.

Je gegeven: ...

Wat wil je aantonen: ...

Je eindigt met je gegeven, dat is merkwaardig ...

Je zou moeten eindigen met: dus blijkt a_(n+2)>a_(n+1)

En Evilbro doet het je voor.

Ik mag de stelling dat a_n+1 > a_n gebruiken bij het bewijzen van a_n+2 > a_n+1. Dus als ik het dan naar de stelling terug kan leiden moet het wel kloppen.

Dus

Mijn gegeven: a_n+1 > a_n

Te bewijzen: a_n+2 > a_n+1

Het te bewijzen blijkt hetzelfde te zijn als het gegeven, dus dan moet het wel kloppen.

Ik dacht alleen dat het misschien dubbel was wat ik deed, daarom heb ik het ook hier gepost.

Overigens zou ik inderdaad moeten eindigen met "dus a_n+2 > a_n+1", ik was een beetje slordig.

Toch vind ik de manier van Evilbro mooier

Overigens zou ik inderdaad moeten eindigen met "dus a_n+2 > a_n+1",

Toch vind ik de manier van Evilbro mooier

Evilbro eindigt toch ook zo? Overigens verschillen jouw oplossing en zijn oplossing niet zo heel erg veel van elkaar, hoor. Je kunt alleen beargumenteren dat het logischer is om te beginnen met je gegeven en naar het te bewijzen toe te werken. Maar het te bewijzen herleiden tot het gegeven, is ook goed. Alleen moet je je bij elke stap er goed bewust van zijn waarom je hem mag zetten. Bijvoorbeeld: waarom mag je uit a>b, besluiten dat (a) > (b)?

we weten dat:
omdat a>b>0

maar dan moet er gelden: