1 van 2
Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 15:06
door Biesmansss
Beschouw een rij (Xk) k ∈N in Rn en een a = (a1, a2, ..., an) ∈Rn. Noteer de componentrijen met (Xi,k) k ∈ N (met i = 1, 2, ..., n).
Volgende uitspraken zijn equivalent:
(1) (Xk) k ∈ Nconvergeert naar a.
(2) Voor alle i = 1, 2, ..., n convergeert (Xi,k) k ∈ N naar ai.
De sleutel tot dit resultaat is volgende dubbele ongelijkheid. Voor alle b = (b1, b2, ..., b3) ∈ Rn en alle i = 1, 2, ..., n. geldt:
|bi - ai| ≤ ||b - a|| ≤ |b1 - a1| + |b2 - a2| + ... + |bn - an|
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Eerst zou ik dus de dubbelongelijkheid helemaal moeten snappen en zou ik in staat moeten zijn deze te bewijzen. Kan iemand mij hierbij helpen ?
Dank bij voorbaat!
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 15:12
door Drieske
Wat is, per definitie ||b-a||?
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 15:13
door Biesmansss
Als ik mij niet vergis:
√ (a1-b1)² + (a2 - b2)² + ... + (an - bn)²
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 15:15
door Drieske
Klopt. Nu zijn alle (ai- bi)² positief. Laat ze eens allemaal weg, buiten eentje. Dit is groter/kleiner geworden?
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 15:17
door Biesmansss
kleiner of gelijk aan wat we al hadden
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 15:18
door Drieske
Inderdaad. Dus:
\(\sqrt{(a_i - b_i)^2} \leq \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + \cdots + (a_n - b_n)^2}\)
. Wat is nu
\(\sqrt{(a_i - b_i)^2}\)
?
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 15:23
door Biesmansss
De afstand tussen ai en bi, dus m.a.w. |ai - bi|, dat was eenvoudig om te vinden.
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 15:25
door Drieske
Inderdaad. Dat bewijst al 1 ongelijkheid. Nu nog de andere. Hint: is
\(\sqrt{x + y} \leq \sqrt{x} + \sqrt{y}\)
met x en y positief?
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 15:28
door Biesmansss
Drieske schreef: ↑ma 09 apr 2012, 15:25
Inderdaad. Dat bewijst al 1 ongelijkheid. Nu nog de andere. Hint: is
\(\sqrt{x + y} \leq \sqrt{x} + \sqrt{y}\)
met x en y positief?
Dat klopt ja, maar het is niet zo eenvoudig om dit te bewijzen ?
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 15:29
door Drieske
Wat is niet zo eenvoudig om te bewijzen?
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 16:25
door Biesmansss
√(x + y) ≤ √x + √y ?
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 16:27
door Drieske
Kwadrateer beide leden eens. Waarom mag dit (probeer zo precies mogelijk te zijn)?
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 16:32
door Biesmansss
x + y ≤ x + 2 √xy + y
En daarmee is het dus bewezen ?
We mogen dit doen daar we er zeker van zijn dat alle leden aan beide kanten positief moeten zijn; dit weten we doordat ze allemaal onder een wortel staan ?
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 16:34
door Drieske
Dat is niet waarom je dat mag doen. Of beter: Het positief zijn is ook nodig. Maar nog meer ook. Je weet iets over de functie f(x) = x² op [0, oneindig). Wat?
Re: Bewijs i.v.m. de norm
Geplaatst: ma 09 apr 2012, 19:26
door Biesmansss
Drieske schreef: ↑ma 09 apr 2012, 16:34
Dat is niet waarom je dat mag doen. Of beter: Het positief zijn is ook nodig. Maar nog meer ook. Je weet iets over de functie f(x) = x² op [0, oneindig). Wat?
de funtie f(x) = x² op [o, +00[
Deze is strikt stijgend ?