sciencetalk

Ik heb een paar vraagjes bij het gebruik van het teken in wiskundige formules...

Zoals ik het ken betekent zoveel als Eerste vraag: wat als er alleen onderaan de sigma iets staat? Het enige dat ik mij kan voorstellen (hoewel behoorlijk onlogisch), is dat dit hetzelfde is als Een deel van het praktische geval waarmee ik geconfronteerd werd: Ik lees dit als zijnde 'het aantal getallen d die deler zijn van n'. Klopt dit?

Klopt bijna. Je sommeert niet over het aantal d dat deler zijn. Je sommeert gewoon over de d die deler zijn van n.

Klopt bijna. Je sommeert niet over het aantal d dat deler zijn. Je sommeert gewoon over de d die deler zijn van n.

Hmmm... dat was een beetje slordig uitgedrukt van mij...

Ik bedoelde: voor elk getal d dat deler is van n 'tellen we 1 op bij het tussentijds resultaat' en het eindresultaat geeft het aantal getallen d die deler zijn van n. Klopt dit beter?

Tweede vraag: wat doe ik met Het praktische voorbeeld waarmee ik te maken kreeg is waarbij p een priemgetal is.

Ik heb dit al op een aantal manieren proberen te interpreteren, maar geen enkele daarvan vond ik zinnig...

De rechtse sigma lijkt me hetzelfde als die uit mijn eerste vraag, dus:

voor elk priemgetal p dat deler is van n, tellen we 1 op bij het tussentijds resultaat, en het eindresultaat geeft het aantal priemgetallen die deler zijn van n.

Maar wat moet ik nu nog met die linkse sigma?

Het is, als het er exact zo staat, alleszins een zeer slordige notatie. Laat ik beginnen met die opmerking. Je moet altijd aangeven waarover je sommeert. Meestal is dit iets van deze vorm: met n dan een natuurlijk getal en f een functie. Maar dat mag ook zijn: met A dan een verzameling van natuurlijke getallen. Met dat laatste bedoel je dan dat je de verzameling A doorloopt. Praktisch(er) voorbeeld: zeg A = {a₁, ..., a_m}, dan is . Maar A mag uiteraard evengoed een oneindige verzameling zijn.

Nu een opstapje naar jouw voorbeeld. Zeg A_n = {1, ..., n} (de eerste n natuurlijke getallen). Dan is . Het is dus gewoon een som van sommen. Begrijp je nu jouw voorbeeld beter?

PS: je schrijft dp|n... Typfout?

Typfout van mijn kant

Drieske schreef: ↑do 12 apr 2012, 18:23

\(\sum_{n \in \nn} \sum_{a \in A_n} f(a_n) = f(a_1) + (f(a_1 + f(a_2)) + (f(a_1 + f(a_2) + f(a_3)) + \cdots (f(a_1) + \cdots + f(a_k)) + \cdots\)

moet zijn

Het is, als het er exact zo staat, alleszins een zeer slordige notatie. Laat ik beginnen met die opmerking. Je moet altijd aangeven waarover je sommeert.

Wel, ik ben blij dat je met die opmerking begint. In mijn eerste bericht schreef ik eigenlijk al iets gelijkaardigs

Het praktische voorbeeld uit dat bericht moet dus eigenlijk moeten zijn :
waarbij en hmmm... dat laatste ziet er een beetje raar uit maar ik bedoel ermee: A is de verzameling van alle getallen d waarvoor geldt dat d een deler is van n.

Dan de dubbele sommatie. Ik zie net dat je een aanpassing gedaan hebt. Ik zie er alvast een bepaald ritme in, maar ik moet het nog eens goed bekijken. Denk wel dat het zal lukken.

PS: je schrijft dp|n... Typfout?

Neen, het staat er letterlijk zo... Maar ik heb het uit hand-geschreven notities die ik via-via gekregen heb, dus ...

Janosik schreef: ↑do 12 apr 2012, 19:18
Wel, ik ben blij dat je met die opmerking begint. In mijn eerste bericht schreef ik eigenlijk al iets gelijkaardigs

Het praktische voorbeeld uit dat bericht

\(\sum_{d|n}1\)

moet dus eigenlijk moeten zijn :

\(\sum_{a \in A}f(a)\)

waarbij

\(f(a)=1\)

en

\(A=\{d|(d|n)\}\)

hmmm... dat laatste ziet er een beetje raar uit maar ik bedoel ermee: A is de verzameling van alle getallen d waarvoor geldt dat d een deler is van n.

Goh ja, met dat specifieke geval heb ik weinig moeite eerlijk gezegd. Dat wordt in boeken wel vaker zo genoteerd. En het is, eens je het kent duidelijk wat er wordt bedoeld. Ook heb ik geen moeite met A weglaten, àls de context extreem duidelijk is. Maar in cursussen (waaruit een student moet leren) vind ik dat not done .

Overigens even opmerken: ik noteer overal zaken als f(a)... Die f zal uiteraard in specifieke gevallen meestal iets zijn als 1, of 1/a, of a², of... Dan mag je natuurlijk in je sommatie f vervangen door het specifiek voorschrift.

Dan de dubbele sommatie. Ik zie net dat je een aanpassing gedaan hebt. Ik zie er alvast een bepaald ritme in, maar ik moet het nog eens goed bekijken. Denk wel dat het zal lukken.

Je bekijkt het maar eens en is er iets niet duidelijk vraag je het maar. Ook bij twijfel mag dat uiteraard .

Neen, het staat er letterlijk zo... Maar ik heb het uit hand-geschreven notities die ik via-via gekregen heb, dus ...

Dan zouden ze (minstens) moeten specifiëren wat die d is... Maar hoe ik het nu lees, is: je sommeert over de 'dp' waarvoor geldt dat dp een deler is van n. En p laat je dan lopen van 1 tot n/d (afgerond op een natuurlijk getal) (dat laatste is een gok, maar hoger dan dit gaan heeft sowieso geen nut om delers te vinden ).

\(\sum_{n \in \nn} \sum_{a \in A_n} f(a) = f(1) + (f(1 + f(2)) + (f(1 + f(2) + f(3)) + \cdots (f(1) + \cdots + f(k)) + \cdots\)

Kan het zijn dat er nog een klein foutje in je notatie geslopen is?

'sluit-argument-haakje' achter de tweede en derde 1
En aangezien

An = {1, ..., n} (de eerste n natuurlijke getallen)

denk ik dat de reeks aan de rechterkant ook afgesloten kan worden...
Als dit klopt, ben ik weer helemaal mee, en ga ik die nototies nog eens bekijken

Er ontbraken inderdaad nog wat haakjes. Maar het is wel degelijk een oneindige som. Ik bereken voor elke n de binnenste som en vervolgens tel ik al deze sommen op. Daar ik dit doe voor n in N, de natuurlijke getallen, betekent dit dat je som ook oneindig is. Snap je?

Toen ik gisteren je laatste bericht las, begon ik echt wel aan mezelf te twijfelen.

Nee... ik zag het niet, en nee,begreep het niet, en... ach, ik voelde me behoorlijk idioot

Na vandaag een dagje vrij genomen te hebben, bekeek ik je voorbeeld met bijbehorende reeks eens opnieuw, en...

Hoe kon ik daar ooit over gezien hebben

De n onderaan BEPAALT het aantal elementen a in en het de sommering van al die a's (nee.. f(a)'s) wordt telkens toegevoegd aan het eindtotaal.

En plots voel ik mezelf terug een echt genie

Ik ga nu die nog eens bekijken.

Je hoort er nog wel van