sciencetalk

Is het al bekend dat er nooit meer dan 4 achtereenvolgende priemgetallen kunnen zijn met allemaal hetzelfde interval?

muv van de combinatie: 5, 11, 17, 23, 29

ik bedoel dus, dat wanneer je vanaf een willekeurig getal X stapjes gaat maken met een bepaalde grootte S, dat dat dan never nooit en te nimmer meer dan 4 stappen kunnen zijn waarin je achtereenvolgens een priemgetal aantreft. ongeacht de grote van X of S?

dus neem je X = 7 en S = 12, dan heb je:

7, 19, 31, 43, 55 = geen priem

dus neem je X =101 en S= 6 dan heb je:

101, 107, 113, 119 = geen priem

Onwetend schreef: ↑zo 22 jul 2012, 02:24Is het al bekend dat er nooit meer dan 4 achtereenvolgende priemgetallen kunnen zijn met allemaal hetzelfde interval?

ik bedoel dus, dat wanneer je vanaf een willekeurig getal X stapjes gaat maken met een bepaalde grootte S, dat dat dan never nooit en te nimmer meer dan 4 stappen kunnen zijn waarin je achtereenvolgens een priemgetal aantreft. ongeacht de grote van X of S?

Jazeker, het noemt het Green-Tao theorema en het beweert net het tegenovergestelde

Voor iedere gewenste lengte bestaan er rekenkundige rijen in de priemgetallen, volgens het theorema. Dus 4 is zeker niet het maximum.

317070 schreef: ↑zo 22 jul 2012, 02:56
Jazeker, het noemt het Green-Tao theorema en het beweert net het tegenovergestelde

Voor iedere gewenste lengte bestaan er rekenkundige rijen in de priemgetallen, volgens het theorema. Dus 4 is zeker niet het maximum.

dat vind ik erg vreemd. Ik ben er namelijk van overtuigd te kunnen bewijzen dat het NIET meer dan 4 achteereenvolgenden kunnen zijn. maargoed, als e.e.a. is aangetoond dan zal ik toch wel ergens de fout in gaan blijkbaar. ik ga er even goed naar kijken en kom er (waarsch. vanavond) nog wel even op terug

Onwetend lijkt te spreken over opeenvolgende priemgetallen (oftewel, priemgetallen waar geen andere priemgetallen tussen liggen). Klopt dit? Zo ja, dan is dit niet in tegenspraak met de genoemde stelling.

Dan zou de bewering van onwetend equivalent zijn aan de bewering dat de rij http://oeis.org/A001223 niet drie keer achter elkaar hetzelfde getal bevat.

Zelfs dan: Consecutive primes in arithmetic progression

Onwetend schreef: ↑zo 22 jul 2012, 02:24
Is het al bekend dat er nooit meer dan 4 achtereenvolgende priemgetallen kunnen zijn met allemaal hetzelfde interval?

Bovenstaande is inderdaad alleen geldig voor stappen met afstand kleiner dan 30.

Voor stappen tot en met een groote van 209 kunnen het maximaal 6 stappen zijn.

Althans, dit is wat ik zelf kan beredeneren.

Wat is precies het verband tussen de groote van de stappen en het maximale aantal stappen dat men kan nemen?

Het lijkt erop dat wanneer je stappen neemt van een afstand X, en je kijkt welke faculteit van de opeenvolgende priemgetallen zich erboven bevindt, dat het maximale aantal stappen dat je kan nemen gelijk is aan het grootste priemgetal uit de genoemde faculteit, -1.

dus 2 x 3 x 5 x 7 = 210. Stappen kleiner dan 210 zijn er maximaal (7-1)=6.

klopt dit? ik dacht iets gelijkswaardigs ook wel te zijn tegengekomen in 1 van de links naar oeis.org, maar ben er ook zeker niet zeker van, want begrijp e.e.a. vaak maar half.

Ik denk dat dat wel te beredeneren is door alles te reduceren modulo deze kleine priemgetallen.

Als je n opeenvolgende getallen hebt die een rekenkundige rij vormen, dan zijn de verschillen steeds gelijk. Als je zo'n rij reduceert modulo p, dan zijn de verschillen ook steeds gelijk. Als je bijvoorbeeld een rijtje van 5 getallen reduceert modulo 5 dan zijn de mogelijkheden van de vijf getallen gereduceerd modulo 5:

0, 0, 0, 0, 0 of 1, 1, 1, 1, 1 of 2, 2, 2, 2, 2 of 3, 3, 3, 3, 3 of 4, 4, 4, 4, 4 of

1, 2, 3, 4, 0 of 2, 3, 4, 0, 1 of 3, 4, 0, 1, 2 of 4, 0, 1, 2, 3 of 0, 1, 2, 3, 4 of

2, 4, 1, 3, 0 of 4, 1, 3, 0, 2 of 1, 3, 0, 2, 4 of 3, 0, 2, 4, 1 of 0, 2, 4, 1, 3 of

3, 1, 4, 2, 0 of 1, 4, 2, 0 ,3 of 4, 2, 0, 3, 1 of 2, 0, 3, 1, 4 of 0, 3, 1, 4, 2 of

4, 3, 2, 1, 0 of 3, 2, 1, 0, 4 of 2, 1, 0, 4, 3 of 1, 0, 4, 3, 2 of 0, 4, 3, 2, 1

Er zijn altijd exact p^2 mogelijkheden, want de eerste twee restklassen mod p zijn vrij te kiezen en dan liggen alle andere vast omdat het een rekenkundige rij moet zijn.

Als een getal n reduceert tot 0 mod p is het deelbaar door p en dus niet priem (tenzij het getal gelijk is aan p). Zo'n rijtje valt dus af. Je zoekt dus een rijtje dat reduceert modulo p tot een rijtje zonder nullen. De enige rijtjes die voldoen zijn 1, 1, 1, 1, 1 en 2, 2, 2, 2, 2 en 3, 3, 3, 3, 3 en 4, 4, 4, 4, 4. Al die rijtjes hebben verschil 0. Dus het verschil in het originele rijtje is 0 mod p, en dus deelbaar door p.

Dit werkt voor alle p <= n.

Het verschil is dus deelbaar door alle p <= n, en dus door de kgv van alle p <= n, en dat is p#.

juist. Dat is duidelijk.

zijn er ook nog eisen / voorwaarden waaraan de 'kleinste' waarde uit de stappen moet voldoen?

oftewel: we hebben nu X + Sn, waarbij S en n met elkaar evenredig zijn. De groote van S bepaald de maximale n, en de grote van n bepaalt de maximale S.

Wat zijn de eisen mbt tot X? zijn die er uberhaupt?

Erik Leppen schreef: ↑zo 22 jul 2012, 16:39
Dan zou de bewering van onwetend equivalent zijn aan de bewering dat de rij http://oeis.org/A001223 niet drie keer achter elkaar hetzelfde getal bevat.

is dit al bewezen of echt een bewering?

Slechts een bewering. Ik merkte op dat die beweringen equivalent zijn; niet of ze waar of onwaar zijn.

Echter, de link van ZVdP bevat tegenvoorbeelden. De beweringen zijn dus onwaar.

Na een google op "Consecutive primes in arithmetic progression" vond ik hier de bewering dat 121174811 + 30k, k = 0, 1, ..., 5 een voorbeeld is van zes opeenvolgende priemgetallen. Dit zijn er dan zes met telkens verschil 30.

Erik Leppen schreef: ↑wo 25 jul 2012, 13:50
Slechts een bewering. Ik merkte op dat die beweringen equivalent zijn; niet of ze waar of onwaar zijn.

Echter, de link van ZVdP bevat tegenvoorbeelden. De beweringen zijn dus onwaar.

Volgens mij zijn beide beweringen juist wel waar.

Ik citeer de eerste zin uit de link van ZvdP:

"In number theory, the phrase primes in arithmetic progression refers to at least three prime numbers that are consecutive terms in an arithmetic progression, for example the primes (3, 7, 11) (it does not matter that 5 is also prime)".

de nadruk ligt dat vooral op het laatste stuk tussen haakjes. De link heeft voor zover ik kan overzien geen betrekking op de gaten waar jij met je link naar verwees, namelijk die tussen de opeenvolgende priemgetallen.

Het is moet volgens mij wel te zijn aan te tonen dat er nooit 4 opeenvolgende priemgetallen kunnen zijn met dezelfde tussenlengte (en zonder andere priems ertussen), omdat 1 van die vier getallen dan per definitie deelbaar moet zijn door 3.

Erik Leppen schreef: ↑wo 25 jul 2012, 13:50
Na een google op "Consecutive primes in arithmetic progression" vond ik hier de bewering dat 121174811 + 30k, k = 0, 1, ..., 5 een voorbeeld is van zes opeenvolgende priemgetallen. Dit zijn er dan zes met telkens verschil 30.

Dit sluit dan tog perfect aan bij hetgeen dat we hiervoor beredeneerd hebben? 30 valt binnen de groep '30 tot 209', en dus zijn er maximaal 6 priemgetallen te vinden met die tussenlengte.

Onwetend schreef: ↑wo 25 jul 2012, 23:03
Het is moet volgens mij wel te zijn aan te tonen dat er nooit 4 opeenvolgende priemgetallen kunnen zijn met dezelfde tussenlengte (en zonder andere priems ertussen), omdat 1 van die vier getallen dan per definitie deelbaar moet zijn door 3.

Hier moet ik op terugkomen, ik stootte me tegen dezelfde steen als eerder dit topic. Dat die bewering onjuist is blijkt overigens ook al uit de link die je er zelf bij gaf.