sciencetalk

Opmerking moderator

Marko schreef: ↑vr 03 aug 2012, 14:49
Lijkt me niets mis mee om een bewijsvoering te beginnen met "stel dat... , dan geldt" enzovoort, en te zien of een en ander wel of niet met zichzelf in tegenspraak is.

Ja, jawel. Als er geen contradictie is, is dat helemaal geen goed bewijs. Het is te zeggen: dat bewijs zegt niets over jouw aanname. Die kan juist zijn, maar evenzeer verkeerd. Als er gevraagd wordt "toon aan dat dat een gehele uitkomst is" en jij begint je bewijs met "stel dat de uitkomst geheel is", dan heb je echt geen bewijs voor het gevraagde.

Een triviaal voorbeeld waarbij het verkeerd gaat:

Laat: k = 2 + 1/2 .

Toon aan dat k een geheel getal is.

Bewijs:

Veronderstel dat k een geheel getal is.

Dan vinden we:

Omdat k = 2 + 1/2 geldt ook: k > 2 . Anders geschreven: 2 < k .

Omdat k = 2 + 1/2 en 2 + 1/2 = 2,5 < 4, geldt ook: k < 4.

Dus geldt voor het gehele getal k dat: 2 < k < 4 .

Waarmee is bewezen dat k = 3 .

Ik kan dat bewijs ook ombouwen zo dat het ineens klopt:

\\

Omdat k = 2 + 1/2 geldt ook: k > 2 . Anders geschreven: 2 < k .

Omdat k = 2 + 1/2 en 2 + 1/2 = 2,5 < 4, geldt ook: k < 4 en in dit geval ook k < 3, omdat 2.5 = 5/2 < 6/2 = 3.

Dus geldt voor het gehele getal k dat: 2 < k < 3 .

Waarmee is bewezen dat k geen geheel getal kan zijn.

dirkwb schreef: ↑vr 03 aug 2012, 20:36
Ik kan dat bewijs ook ombouwen zo dat het ineens klopt:

Dat maakt niet uit: het is meer ter illustratie voor het punt dat een bewijs zonder tegenspraak niets zegt over de correctheid van de aanname. Deze kan fout zijn, maar toch een bewijs zonder tegenspraak opleveren.

Bartjes schreef: ↑vr 03 aug 2012, 20:13
Een triviaal voorbeeld waarbij het verkeerd gaat:

Laat: k = 2 + 1/2 .

Toon aan dat k een geheel getal is.

Bewijs:

Veronderstel dat k een geheel getal is.

Dan vinden we:

Omdat k = 2 + 1/2 geldt ook: k > 2 . Anders geschreven: 2 < k .

Omdat k = 2 + 1/2 en 2 + 1/2 = 2,5 < 4, geldt ook: k < 4.

Dus geldt voor het gehele getal k dat: 2 < k < 4 .

Waarmee is bewezen dat k = 3 .

Vind je dit een bewijs ...

Je bewijst dat er een geheel getal groter dan 2+1/2 is en niet dat dat getal geheel is.

Als begonnen wordt met de aaname dat k is geheel en postief, dan is dat alleen zinvol als men een bewijs uit het ongerijmde wil maken, dus dat k niet geheel kan zijn.

Als men daar mee aan de slag gaat en het lukt niet om een ongerijmdheid te produceren dan weet men dus gewoon nog niks.

Het produceren van een gerijmdheid zegt helemaal niets.

PS.

Vroeger had men zo'n vraag nooit gesteld in deze vorm, dan was er gevraagd:

Breng deze vorm tot de meest eenvoudige terug en was heel wat discussie hier overbodig geweest.

tempelier schreef: ↑vr 03 aug 2012, 20:56
PS.

Vroeger had men zo'n vraag nooit gesteld in deze vorm, dan was er gevraagd:

Breng deze vorm tot de meest eenvoudige terug en was heel wat discussie hier overbodig geweest.

Opmerking moderator

tempelier schreef: ↑vr 03 aug 2012, 20:56
Als begonnen wordt met de aaname dat k is geheel en postief, dan is dat alleen zinvol als men een bewijs uit het ongerijmde wil maken, dus dat k niet geheel kan zijn.

Als men daar mee aan de slag gaat en het lukt niet om een ongerijmdheid te produceren dan weet men dus gewoon nog niks.

Het produceren van een gerijmdheid zegt helemaal niets.

Daar ben ik het mee eens.

Safe schreef: ↑vr 03 aug 2012, 20:53
Vind je dit een bewijs ...

Je bewijst dat er een geheel getal groter dan 2+1/2 is en niet dat dat getal geheel is.

In mijn voorbeeld laat ik juist zien hoe het niet moet, en welke rampen uit zo'n ondeugdelijke manier van redeneren kunnen voortvloeien.

Ik wil best geloven dat het vinden van een gerijmdheid niets zegt. Maar ik laat me toch liever graag overtuigen.

Tot nu toe heb ik alleen een foutief voorbeeld gezien.

Mij is niet duidelijk op welk punt van de redenering de volgende redenering logisch niet in orde is:

Ik neem aan dat k een geheel getal is; op basis van die aanname doe ik een aantal stappen die alleen geldig zijn wanneer k een geheel getal is. Uiteindelijk vind ik als antwoord k=3 (ik noem maar wat). 3 is een geheel getal. Conclusie: de aanname was gerechtvaardigd, de stappen waren geldig, het antwoord is juist.

Marko schreef: ↑vr 03 aug 2012, 21:24
Ik wil best geloven dat het vinden van een gerijmdheid niets zegt. Maar ik laat me toch liever graag overtuigen.

Tot nu toe heb ik alleen een foutief voorbeeld gezien.

Mij is niet duidelijk op welk punt van de redenering de volgende redenering logisch niet in orde is:

Ik neem aan dat k een geheel getal is; op basis van die aanname doe ik een aantal stappen die alleen geldig zijn wanneer k een geheel getal is. Uiteindelijk vind ik als antwoord k=3 (ik noem maar wat). 3 is een geheel getal. Conclusie: de aanname was gerechtvaardigd, de stappen waren geldig, het antwoord is juist.

Neem aan dat k=3

Dan is k+2=3+2=5

k+2-2=5-2=3 dus k=3

Tja ik dank je de koekoek maar dit is geen bewijs.

Overigens als men in het vraagstuk aanneemt dat k=geheel dan valt er niets meer te bewijzen, want geheel is toch geheel?

Marko schreef: ↑vr 03 aug 2012, 21:24
Ik wil best geloven dat het vinden van een gerijmdheid niets zegt. Maar ik laat me toch liever graag overtuigen.

Tot nu toe heb ik alleen een foutief voorbeeld gezien.

Ik moet toegeven dat een goed, niet belachelijk triviaal voorbeeld vinden niet zo eenvoudig is. Maar ik ga er zeker even over denken .

Edit: misschien overtuigt dit je. Er zijn veel bewijzen die beginnen met "Stel dat de Riemann-hypothese geldt" en dan iets afleiden. Alles klopt perfect. Maar het zegt niets over de correctheid van de Riemann-hypothese.

Ik neem aan dat k een geheel getal is; op basis van die aanname doe ik een aantal stappen die alleen geldig zijn wanneer k een geheel getal is. Uiteindelijk vind ik als antwoord k=3 (ik noem maar wat). 3 is een geheel getal. Conclusie: de aanname was gerechtvaardigd, de stappen waren geldig, het antwoord is juist.

Alles klopt hier, buiten het vetgedrukte. Je aanname is niet gerechtvaardigd (toch niet als je daarmee bedoelt dat je aanname correct was en dus alles bewezen is). Al je stappen waren inderdaad geldig. Het gevonden antwoord is inderdaad juist. Maar dat alles wel onder je aanname. En over de correctheid van deze aanname ben je niets extra te weten gekomen.

Zoals tempelier reeds eerder zei: een bewijs dat begint met "stel dat..." impliceert meteen dat je een tegenspraak zoekt. Vind je deze niet, is je bewijs ledig .

Drieske schreef: ↑vr 03 aug 2012, 21:40
Ik moet toegeven dat een goed, niet belachelijk triviaal voorbeeld vinden niet zo eenvoudig is. Maar ik ga er zeker even over denken .

Strikt logisch gesproken maakt het niet uit dat mijn voorbeeld belachelijk eenvoudig is, maar ik kan mij voorstellen dat "mensen van de praktijk" daar anders over denken. Ik zal mee zoeken naar een "beter" voorbeeld.

Drieske schreef: ↑vr 03 aug 2012, 21:40Zoals tempelier reeds eerder zei: een bewijs dat begint met "stel dat..." impliceert meteen dat je een tegenspraak zoekt. Vind je deze niet, is je bewijs ledig .

Het is zelf erger dan dat als je kunt bewijzen dat er geen tegenspraak volgt dan heb je nog niks.

PS. Een ledig bewijs die term kende ik niet, maar ik neem hem mee bedankt.

tempelier schreef: ↑vr 03 aug 2012, 21:32
Neem aan dat k=3

[...]

dus k=3

Tja ik dank je de koekoek maar dit is geen bewijs.

Dank je de koekoek, maar je gaat niet in op de redenering die ik opschrijf. Je komt met een onzinnig voorbeeld (namelijk, een voorbeeld waarin het antwoord letterlijk hetzelfde is als de aanname) en concludeert daarvan dat het onzinnig is. Fijn, maar daarmee komen we niet verder. Ga nou eens in op de redenering die er staat.

Marko schreef: ↑vr 03 aug 2012, 21:54
Ga nou eens in op de redenering die er staat.

Heb je mijn bericht/edit gezien? Overtuigt dit je niet?