sciencetalk

Voor de liefhebbers:

Zij E een vectorruimte en zij F een eindigdimensionale deelruimte van E. Zij u: E -> E een lineaire afbeelding.

(a) Veronderstel dat F bevat is in u(F). Bewijs dat F = u(F).

(b) Geef een tegenvoorbeeld voor (a) als F niet eindigdimensionaal is.

Zeg {e₁,e₂, ... ,e_n} is een basis van F,

F u(F), dus is [e₁,e₂, ... ,e_n] [u(e₁),u(e₂), ... ,u(e_n)] ( [...] staat voor lineair opspansel ).

Dus is u(F) n-dimensionaal en F = u(F).

Bekijk de afbeelding F: A->A waarbij A de vectorruimte is van oneindige rijen.

F(a₁,a₂, ... ) = (a₂,a₃, ... ).

B A linear en B = {(a₁,a₂, ...) | a₁=0}

B F(B)= A, maar B A