sciencetalk

Vraag: 2|N is de verzameling van de even natuurlijke getallen.

Ik moet zien te bewijzen dat 2|N aftelbaar oneindig is.

Ik kan elke even getal combineren met een natuurlijke getal zo dat

2=1, 4=2, 6=3,....

|N={1,2,3,4,5,6,.....,n} (n∈ |N)

2|N={2,4,6,8,10,12,...2n} (n∈ |N)



f: |N --> 2|N f(n)=2n,.

Ik moet bewijzen dat f bijective is dat doe ik door apart te bewijzen dat het surjectief en injectief is,

n1,n2 ∈|N

f(n1)=f(n2)

dus 2n1=2n2 dus n1=n2

dus f is injectief.

Ik weet niet hoe ik de surjectieve gedeelte moet bewijzen?

En ik weet ook niet hoe ik uiteindelijk kan stellen dat 2 aftelbaar oneindig is nadat bewezen is dat f bijective is.

Bedankt! (Ik ben niet zo goed in het opstellen van bewijzen op een goede manier, want ik ben net begonnen met het leren op te stellen van bewijzen)

Je moet een injectief verband leggen tussen N en 2N ... (dat is bijna vanzelfsprekend)

Berna schreef: ↑za 22 sep 2012, 14:54
Ik weet niet hoe ik de surjectieve gedeelte moet bewijzen?

En ik weet ook niet hoe ik uiteindelijk kan stellen dat 2 aftelbaar oneindig is nadat bewezen is dat f bijective is.

1) Dat het een bijectie is, is toch gewoon triviaal? Injectie heb je aangetoond, voor de surjectie: alle even getallen (in 2) kan je schrijven als '2n', ze zijn dus het beeld van element 'n' in .

2) Cantor heeft beredeneerd dat je kan zeggen dat 2 verzamelingen met een eindig aantal elementen gelijk even groot zijn als je een 1 naar 1 mapping (bijectie) kan opstellen tussen de elementen. Aangezien die methode niet steunt op het kunnen tellen van de elementen kan je dat veralgemenen naar verzamelingen van oneindige grootte. (bron)

als je stelt dat 2N een deelverzameling is van N en dat f(n)=2n bijectief is dan kun je stellen dat

2N aftelbaar oneindig is?

Ik bedoel als je bewijst dat..

Precies! Maar is dat niet echt duidelijk?

Wat is de definitie van "aftelbaar"?

Als f een surjectieve functie is en als de A, in f:A->B, een deelverzameling van |N is

Een verzameling is aftelbaar oneindig als er een 1-1 verband is met de verz N.

Populair: elk element van de verz is 1 op 1 in een 'kamer' te stoppen met een nummer.

Vb 2984 heeft een nummer, welk?

Dat is dan toch 2984

In mijn boek moet ik de gelijkmachtigheid van de intervallen [0,1) en [0,1] bewijzen of weerleggen.

Ik weet dat ze gelijkmachtig zijn.

Ik splits het domein in alle getallen van de vorm 1/n ( met n alle niet nulle natuurlijke getallen) en

de andere getallen.

Ik weet alleen niet hoe ik de bijectie moet opschrijven

Berna schreef: ↑za 22 sep 2012, 22:58
Dat is dan toch 2984

Klopt dat met f(n)=2n?

o nee het is dan het dubbele van 2984

Berna schreef: ↑za 22 sep 2012, 23:11
In mijn boek moet ik de gelijkmachtigheid van de intervallen [0,1) en [0,1] bewijzen of weerleggen.

Ik weet dat ze gelijkmachtig zijn.

Ik splits het domein in alle getallen van de vorm 1/n ( met n alle niet nulle natuurlijke getallen) en

de andere getallen.

Ik weet alleen niet hoe ik de bijectie moet opschrijven

Voor deze: je keuze van verzameling is goed. Het lijkt me ook de grootste hindernis eigenlijk. Voor je bijectie: zij A = {1/n | n in N} en definieer f op A door 1/n af te beelden op 1/(n+1). Wat kies je voor f op de rest? Waarom is dit bijectief?

Berna schreef: ↑za 22 sep 2012, 23:11
In mijn boek moet ik de gelijkmachtigheid van de intervallen [0,1) en [0,1] bewijzen of weerleggen.

Ik weet dat ze gelijkmachtig zijn.

Ik splits het domein in alle getallen van de vorm 1/n ( met n alle niet nulle natuurlijke getallen) en

de andere getallen.

Ik weet alleen niet hoe ik de bijectie moet opschrijven

Dit klinkt bekend. Kleine wereld .