sciencetalk

"Toon aan dat de vectoren (1, 2, 3) en (4, 5, 6) dezelfde deelruimte van (R, R³, +) voortbrengen als de vectoren (2, 1, 0) en (1, 1, 1)."

Ik moet dus aantonen dat d.m.v. lineaire combinaties met beide paren dezelfde vectoren kunnen vormen; hoe kan ik dit het beste doen ?

Twee keer de deelruimte bepalen die deze paren voortbrengen ?

Twee keer de deelruimte bepalen is een optie, al is het wat veel werk; het lijkt me een goede oefening.

Handiger is als je de beide vectoren van het ene stelsel uitdrukt als lineaire combinatie van de vectoren van het andere stelsel, waarbij je nog moet laten zien dat deze vectoren onafhankelijk zijn...

Betreffende mijn eerste optie:

Dus ik stel eerst de volgende vergelijkingen op (voor vectoren (2, 1, 0) en (1, 1, 1)):

2a + b = x1

a + b = x2

b = x3

Hieruit volgt:

a + x3 = x2 => a = x2 - x3

2.x2 - 2.x3 + x3 = x1

x1 -2.x2 + x3 = 0

Voor de andere twee vectoren ((1, 2, 3) en (4, 5, 6)):

a + 4b = x1

2a + 5b = x2

3a + 6b = x3

Hieruit volgt:

x1 - 2.x2 + x3 = 0

Dus m.a.w. ze bepalen dezelfde deelruimte.

Betreffende uw voorstel:

Klopt, via een eenvoudige matrix kan je bepalen of ze al dan niet een lineaire combinatie zijn van elkaar; maar hoe zit het met de onafhankelijkheid ?

In dit eenvoudig geval vraagt dat niet om een matrix hoor . Die (1, 1, 1) in combinatie met een 0 als derde coördinaat in je andere vector, zorgt ervoor dat je rap kan nagaan of het klopt. Immers, a(1, 1, 1) + b(..., , 0) = (...., , a). Dus bijv: opdat (4, 5, 6) = a(1, 1, 1) + b(2, 1, 0) moet a=6. Nu kan je rap controleren of er een b is die werkt en die is er. Idem voor je andere vector.

Lineair onafhankelijk: dat is toch gewoon een definitie?

Onafhankelijkheid is hier eenvoudig, omdat je kunt laten zien dat je de ene vector niet kunt schrijven als lineaire combinatie van de andere vector (hij ligt niet in het verlengde)

eezacque schreef: ↑za 20 okt 2012, 16:52
Onafhankelijkheid is hier eenvoudig, omdat je kunt laten zien dat je de ene vector niet kunt schrijven als lineaire combinatie van de andere vector (hij ligt niet in het verlengde)

Klopt.

Drieske schreef: ↑za 20 okt 2012, 16:51
In dit eenvoudig geval vraagt dat niet om een matrix hoor . Die (1, 1, 1) in combinatie met een 0 als derde coördinaat in je andere vector, zorgt ervoor dat je rap kan nagaan of het klopt. Immers, a(1, 1, 1) + b(..., , 0) = (...., , a). Dus bijv: opdat (4, 5, 6) = a(1, 1, 1) + b(2, 1, 0) moet a=6. Nu kan je rap controleren of er een b is die werkt en die is er. Idem voor je andere vector.

Lineair onafhankelijk: dat is toch gewoon een definitie?

Haha, mooi gevonden; uw inzicht is toch echt niet meer normaal hoor Dries.

Hoe kom je daar toch altijd op ?

Alvast bedankt voor de hulp beiden!

Dat is een kwestie van oefening en mettertijd kweek je daar wat inzicht in . Is de rest nu duidelijk? Alvast graag gedaan.

Drieske schreef: ↑za 20 okt 2012, 21:02
Dat is een kwestie van oefening en mettertijd kweek je daar wat inzicht in . Is de rest nu duidelijk? Alvast graag gedaan.

Raaaah, nou verklap je het! Meestal mompelt men dat het een godgegeven talent is, je hebt het, of je hebt het niet, en in het laatste geval helpt ook veel oefening je niks, nada en noppekee...