sciencetalk

Hoi allemaal

Laatst was ik bezig met...iets..en ik stoot op een verband tussen

\(\sqrt{a^2-b^2}\)

en

\(\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}\)

:

\(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}}=\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}\)

Ik wil nu niet weten of dit al bekend was (want ja, dat zal wel zo), maar hoe kun je dit bewijzen?

Dankje

-S.

Dit is niet waar voor alle a en b... Heb je nog voorwaarden erop liggen?

Wat je sowieso kunt doen:

\(\frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}} = \frac{\sqrt{a+b}\sqrt{a-b}}{|a| - |b|}\)

.

Als de gelijkheid moet gelden, krijg je dus:

\(\frac{\sqrt{a+b}\sqrt{a-b}}{|a| - |b|} = \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}\)

.

En dit herleidt zich dan weer toch, daar

\(\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|\)

, de voorwaarde dat

\(|a|-|b| = |a-b|\)

. En dat is niet voor alle a en b zo.

nu ja...a is niet gelijk aan b en a > b...geldt het dan?

en laat ons zeggen dat a en b strikt positief zijn

Dan geldt het ja. En mijn stappen hierboven tonen meteen dat het alleen dan geldt. En geeft je ook meteen het bewijs

.

wacht eens even...is

\(\sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{a+b}\sqrt{a-b}\)

??

Dit wist ik nog niet (:

ach ja, wat dom van me

nu schaam ik me...a²-b² = (a+b)(a-b)...

Ja, er geldt dat

\(\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}\)

als x en y positief zijn. En verder: a² - b² = (a+b)(a-b). Als x en y negatief zijn, valt er een mouw aan te passen.

Overigens zou jouw "formule" gewoon niet kunnen gelden voor negatieve a en b, want dan zit je met een wortel uit een negatief getal

.

Drieske schreef: ↑di 27 nov 2012, 21:33
Ja, er geldt dat
\(\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}\)
als x en y positief zijn. En verder: a² - b² = (a+b)(a-b). Als x en y negatief zijn, valt er een mouw aan te passen.

Overigens zou jouw "formule" gewoon niet kunnen gelden voor negatieve a en b, want dan zit je met een wortel uit een negatief getal .

tja...deze begrijp ik niet:

\(\sqrt{-1\cdot -1} = \sqrt{(-1)^2} = 1 \)

is dus niet gelijk aan

\(\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}\)

...of wel? is hier een regel voor? werk je hierbij met (1)i?

Als je begint met negatieve wortels, kom je in het vaarwater van complexe getallen, en dan wordt het gevaarlijk ja. Hou het dus maar bij positieve getallen onder de wortel

.

sciencetalk

Vierkantswortels bij een som/verschil

Vierkantswortels bij een som/verschil

Re: Vierkantswortels bij een som/verschil

Re: Vierkantswortels bij een som/verschil

Re: Vierkantswortels bij een som/verschil

Re: Vierkantswortels bij een som/verschil

Re: Vierkantswortels bij een som/verschil

Re: Vierkantswortels bij een som/verschil

Re: Vierkantswortels bij een som/verschil