sciencetalk

Stel je voor: een ketting aan de uiteinden bevestigd aan vaste punten op gelijke hoogte.

In het midden hangt de ketting op een wrijvingsloze katrol, bevestigd op gelijke hoogte als de uiteinden van de ketting. Wat doet de ketting: is de situatie met aan elke kant de helft stabiel, of zakt hij naar één kant?

We beschouwen eerst de situatie met de katrol weggedacht. De ketting hangt in de befaamde kettinglijn.

De spanning aan de uiteinden is groot als de ketting erg lang is en dus diep doorhangt, maar ook als de ketting maar weinig langer is dan de afstand tussen de bevestigingespunten.

Zet je de spanning aan een uiteinde uit als functie van de kettinglengte l, bij gelijkblivende afstand tussen de bevestigingspunten L, dan krijg je een kromme die voor l=L begint bij oneindig, snel naar een minimum duikt bij l=1,3 L en dan geleidelijk weer oploopt.

Nu met de katrol er weer bij. Uitgangspunt: als er in een evenwichtstoestand een kleine verstoring optreedt, dan zijn de spanningen aan weerszijde van de katrol niet meer gelijk. Wint het stuk dat korter is geworden, dan pakt het zijn verlies weer terug, herstelt de situatie, stabiel dus. In het andere geval gaat de ketting op zoek naar een ander evenwichtspunt dat wél stabiel is, met de ketting naar één kant gezakt.

Is de ketting korter dan 1,3 keer de afstand tussen de bevestigingspunten, dan zitten we in geval van de symmetrische situatie in de kromme links van het minimum, dus is het kortere stuk van het minimum af en het lange ernaartoe bewogen. Dus gaat na een verstoring uit de symmetrische situatie het stuk dat korter is geworden harder trekken en het andere minder hard. Stabiel, dus.

Bij een kettinglengte meer dan die 1,3 keer is het andersom, zitten we rechts van het minimum en is de symmetrische situatie instabiel.

Heb het vermoeden dat je ook langs een andere weg tot dezelfde conclusie kan komen. ???

JKZ schreef: ↑di 04 dec 2012, 11:55
Stel je voor: een ketting aan de uiteinden bevestigd aan vaste punten op gelijke hoogte.

In het midden hangt de ketting op een wrijvingsloze katrol, bevestigd op gelijke hoogte als de uiteinden van de ketting. Wat doet de ketting: is de situatie met aan elke kant de helft stabiel, of zakt hij naar één kant?

We beschouwen eerst de situatie met de katrol weggedacht. De ketting hangt in de befaamde kettinglijn.

De spanning aan de uiteinden is groot als de ketting erg lang is en dus diep doorhangt, maar ook als de ketting maar weinig langer is dan de afstand tussen de bevestigingespunten.

Zet je de spanning aan een uiteinde uit als functie van de kettinglengte l, bij gelijkblivende afstand tussen de bevestigingspunten L, dan krijg je een kromme die voor l=L begint bij oneindig, snel naar een minimum duikt bij l=1,3 L en dan geleidelijk weer oploopt.

Waar komt die 1,3 vandaan?

Nu met de katrol er weer bij. Uitgangspunt: als er in een evenwichtstoestand een kleine verstoring optreedt, dan zijn de spanningen aan weerszijde van de katrol niet meer gelijk. Wint het stuk dat korter is geworden, dan pakt het zijn verlies weer terug, herstelt de situatie, stabiel dus. In het andere geval gaat de ketting op zoek naar een ander evenwichtspunt dat wél stabiel is, met de ketting naar één kant gezakt.

Is de ketting korter dan 1,3 keer de afstand tussen de bevestigingspunten, dan zitten we in geval van de symmetrische situatie in de kromme links van het minimum, dus is het kortere stuk van het minimum af en het lange ernaartoe bewogen. Dus gaat na een verstoring uit de symmetrische situatie het stuk dat korter is geworden harder trekken en het andere minder hard. Stabiel, dus.

Er vanuit gaande dat die kromme een minimum heeft bij 1,3, verwacht ik dat de spanning aan beide zijden oploopt?

Die 1,3 kun je uitrekenen met de formules die bij de kettinglijn horen.

Als de ketting minder dan de kritische lengte is en de situatie is symmetrisch, dan hoort dus bij beide stukken een punt in de grafiek links van het minumum.

Bij een verstoring schuift het punt horend bij het stuk dat korter wordt naar links,dus van het minimum af en de spanning loopt op. Het punt behorend bij het stuk dat langer wordt schuift naar rechts, naar het minimum toe, verliest het dus.

Bij langer dan minimum in de symmetrische situatie hoort bij beide stukken een punt in de grafiek rechts van het minimum en is het verhaal omgekeerd.

Zakt de ketting naar een kant, dan stelt zich een evenwicht in waarbij het punt dat bij het korte stuk hoort links van het minimum zit en het punt behorend bij het lange stuk rechts. Die twee punten zijn bepaald door de voorwaarden

dat de som van de twee lengtes vast ligt en dat de spanningen gelijk moeten zijn. Je kunt nagaan dat die situatie stabiel is.

JKZ schreef: ↑do 06 dec 2012, 20:33
Bij een verstoring schuift het punt horend bij het stuk dat korter wordt naar links,dus van het minimum af en de spanning loopt op. Het punt behorend bij het stuk dat langer wordt schuift naar rechts, naar het minimum toe, verliest het dus.

Dat klopt voor kleine verstoringen, maar wat gebeurt er als het langere stuk voorbij het minimum schuift?

Het lange stuk kan alleen rechts van het minimum komen als de ketting langer is dan de kritische lengte. In dat geval gaat het altijd naar de dan enig mogelijke stabiele situatie: het ene punt links en het andere op dezelfde hoogte in de grafiek rechts, bij lengtes van de stukken waarvan de som de totale lengte is.

En als het lange deel langer wordt dan de kritische lengte, en het korte deel wordt korter dan de kritische lengte?

eezacque schreef: ↑do 06 dec 2012, 22:29
En als het lange deel langer wordt dan de kritische lengte, en het korte deel wordt korter dan de kritische lengte?

Dan gaat het naar het evenwicht dat ik net beschreef. Stabiel, bijj een verstoring uit dat evenwicht gaat bij beide de spanning omhoog of omlaag, maar doordat de hellingen van de grafiek in de twee punten verschillend zijn is er toch een winnaar die het evenwicht herstelt.