sciencetalk

Hallo ik heb twee methodes gebruikt om een cirkel te maken met parameters in een schuin vlak, kan iemand controleren of ik ergens misschien een rekenfout heb gemaakt, als ik ze plot krijg ik 2/3 van de cirkel te zien en bij de andere lijkt het meer een ellips:

De volgende twee formules zijn bekend:

Onze bol met de formule x²+y²+z²=1 en het vlak x+y+z=1->

Te schrijven als: z=1-x-y.

Door deze twee te combineren en z te substitueren verkrijgt men

x²+y²+(1-x-y)²=1.

Wanneer je (1-x-y)² uitwerkt krijg je: 1 +x² - 2x + 2xy - 2y + y².

x²+y²-1 + (1 + x² - 2x + 2xy - 2y + y²)= 2x² + 2y² - 2x - 2y + 2xy = 0

Dit kan je binnen de haakjes schrijven als: 2y²+(2x-2)y+(2x²-2x)=0

En dit is dan opeens een ‘simpele’ tweedegraadsvergelijking met y uitgedrukt in x

We passen vervolgens de ABC-formule toe:

a=2 en b=(2x-2) en c=(2x²-2x)

d=(2x-2)²-4*2*(2x²-2x)

(De wortel staat in het onderstaande stuk)

d=4x²-8x+4-16x²+16x

d=-12x²+8x+4

Y₁=(-b + sqrt(d))/2a

V Y₁=(-b - sqrt(d))/2a

Y₁=(-2x+2+sqrt(-12x²+8x+4))/4 V Y₂=(-2x+2- sqrt(-12x²+8x+4))/4

Y₁=-1/2x+1/2+1/4 sqrt(-12x²+8x+4) V Y₂=-1/2x+1/2-1/4 sqrt(-12x²+8x+4)

Men ziet dat het drietal in de ABC-formule niet echt leidt tot “leuke” resultaten. Om deze reden, neem ik aan dat men deze formules ook niet zo vaak tegenkomt.

Nu om weer terug te keren naar ons probleem, de parameter:

We kunnen nu y in x uitgedrukt is en de vlakken gecombineerd zijn, de volgende parametervoorstelling invullen: (x,y,z) = (x, y(x), 1-x-y(x)) Met x=t.

Ofwel:

X₁=t



Y₁=-1/2t+1/2+1/4 sqrt(-12t²+8t+4)



Z₁= 1-t-(-1/2t+1/2+1/4 sqrt(-12t²+8t+4))

Z₁=3/2t+1/2-1/4 sqrt(-12x²+8t+4))

Maar ook:

X₂=t



Y₂=-1/2t+1/2-1/4 sqrt(-12t²+8t+4)



Z₂= 1-t-(-1/2t+1/2-1/4 sqrt(-12t²+8t+4))

Z₂=3/2t+1/2+1/4 sqrt(-12t²+8t+4))

--------------------------------------------------------------

methode 2

--------------------------------------------------------------

De tweede methode is eigenlijk vele malen eenvoudiger:

Wanneer we terugkeren naar onze eerste formule, dan blijkt dat

X=sin(t)

Y=cos(t)

Z=cos(t)

Een ellips oplevert, omdat sqrt(x²+y²+z²) niet gelijk is aan 1

Willen we dit wel bereiken dan moeten we de paramatervergelijking vermenigvuldigen:

X=sin(t)

Y=a cos(t)

Z=b cos(t)

Maar hoe krijg je dan een cirkel?

Dit vind je met a²+b²=1, want wanneer dit 1 is, zal de straal ook 1 zijn.

Neem voor a het natuurlijke grondtal e, maar dan ¼ e

Maal een achtste keer de verhouding van een cirkelomtrek tot zijn straal “1/8π”

Samen geven deze getallen de volgende parameter:

X=sin(t)

Y=(1/32)eπcos(t)

Z=bcos(t)

b kunnen we uitrekenen door de vergelijking in te vullen:

((1/32)eπ)²+b²=1

b= sqrt(1-((1/32)eπ)²) v b= -sqrt(1-((1/32)eπ)²)

x=sin(t)

y= (1/32)eπcos(t)

z=-sqrt(1-((1/32)eπ)²) cos(t)

sqrt(x²+y²+z²)

sqrt(sin(t) + ((1/32)eπcos(t))² + (sqrt(1-((1/32)eπ)²) cos(t))²

en we weten dat a²+b²=1, dus

((1/32)eπcos(t))² + (sqrt(1-((1/32)eπ)²) cos(t))² zijn samen gewoon cos²(t)

Hieruit volgt dat:

sqrt(sin²(2)+cos²(t))=1

het is dus een cirkel

Graag reacties of feedback, ik heb er al flink wat aan aangepast, maar ben benieuwd wie de fout kan ontdekken

HiggsBosonenveld schreef: ↑wo 05 dec 2012, 20:39
Hallo ik heb twee methodes gebruikt om een cirkel te maken met parameters in een schuin vlak, kan iemand controleren of ik ergens misschien een rekenfout heb gemaakt, als ik ze plot krijg ik 2/3 van de cirkel te zien en bij de andere lijkt het meer een ellips:

De volgende twee formules zijn bekend:

Onze bol met de formule x²+y²+z²=1 en het vlak x+y+z=1->

Te schrijven als: z=1-x-y.

Door deze twee te combineren en z te substitueren verkrijgt men

x²+y²+(1-x-y)²=1.

Wanneer je (1-x-y)² uitwerkt krijg je: 1 +x² - 2x + 2xy - 2y + y².

x²+y²-1 + (1 + x² - 2x + 2xy - 2y + y²)= 2x² + 2y² - 2x - 2y + 2xy = 0

Dit kan je binnen de haakjes schrijven als: 2y²+(2x-2)y+(2x²-2x)=0

En dit is dan opeens een ‘simpele’ tweedegraadsvergelijking met y uitgedrukt in x

Tot hiertoe klopt alles. Echter, je hebt hier een verband tussen x en y, en je gaat nu veel moeite doen om dit in een andere vorm te schrijven, zonder dat het je veel oplevert: het wordt alleen maar ingewikkelder.

Nu om weer terug te keren naar ons probleem, de parameter:

We kunnen nu y in x uitgedrukt is en de vlakken gecombineerd zijn, de volgende parametervoorstelling invullen: (x,y,z) = (x, y(x), 1-x-y(x)) Met x=t.

Je geeft x hier een andere naam, om er vervolgens achter te komen dat je hier weinig mee opschiet.

De lol van parametervergelijkingen is nu juist dat ze je in staat stellen vergelijkingen te vereenvoudigen!

Bijvoorbeeld, in plaats van x^2+y^2=1 krijg je x=cos(t) en y=sin(t), en da's in elk geval handiger om een cirkel te plotten.

De tweede methode is eigenlijk vele malen eenvoudiger:

Wanneer we terugkeren naar onze eerste formule, dan blijkt dat

X=sin(t)

Y=cos(t)

Z=cos(t)

Da's een eerste gok, waarvan je kunt nagaan dat niet alle combinaties op de bol liggen: voor t=pi/2 geldt x^2+y^2+z^2=0. Dat gaat zo niet lukken.

Een ellips oplevert, omdat sqrt(x²+y²+z²) niet gelijk is aan 1

Willen we dit wel bereiken dan moeten we de paramatervergelijking vermenigvuldigen:

X=sin(t)

Y=a cos(t)

Z=b cos(t)

Maar hoe krijg je dan een cirkel?

Dit vind je met a²+b²=1, want wanneer dit 1 is, zal de straal ook 1 zijn.

Neem voor a het natuurlijke grondtal e, maar dan ¼ e

Hier haak ik af: de introductie van e raakt kant noch wal!

Je gaat hier nog heel eind op door, waarbij je volledig uit het oog verliest dat x+y+z=1

In een eerdere versie van deze draad heeft gebruiker Safe je een standaardmethode gegeven om een bol met een vlak te snijden. Zelf heb ik gesuggereerd met matrices te werken. Het zijn beide benaderingen die je een en ander kunnen leren over deze problematiek, al geef ik toe dat de suggestie van Safe minder voor de hand ligt als je op zoek gaat naar een parametervergelijking, terwijl mijn suggestie boven je pet gaat als je niet handig bent met matrices. Echter, in het wilde weg gaan rekenen levert je ook niets op!

Ik zou even een stapje terug willen gaan: wat is nu precies de opgave die je voor school moet kunnen maken? Wat is het niveau van je opleiding? Laten we eerst 'ns kijken wat het probleem is, en welk gereedschap er tot je beschikking staat...