sciencetalk

De 1-dimensionale formule voor het Dopplereffect van geluid is
zoals in wikipedia (f=frequentie, w=waarnemer, b=bron, c=geluidssnelheid). De tekenafspraak voor de snelheden v_w en v_b is bijzonder: de snelheden worden positief gerekend in de richting van het andere object en negatief in de tegenovergestelde richting.

Maar hoe generaliseer je dat naar de 3 dimensionale ruimte? Wat is de algemene vectorvorm van de formule, waarbij voor bron en waarnemer elke positie en elke snelheidsrichting in de ruimte is toegestaan?

(De bijzondere tekenafspraak lijkt me slecht te generaliseren.)

Ik weet niet zeker of het volgende klopt, maar misschien kun je er iets mee. Definieer een vector tussen b en w, noem deze . Je projecteert dan beide snelheden op deze richting . Je moet dan nog voor een minteken corrigeren in de bovenstaande formule, zodat je eindigt met de formule:

Ja, dat is wat ik zocht. Met (de eenheidsvector van w naar b) wordt het nog iets compacter:
(zoals in de Duitse wikpedia, zij het daar met de omgekeerde eenheidsvector ).

Voor mij is het verhelderend dat de c en v_win de 1-dimensionale formule ongelijksoortig zijn.

Ook verhelderend dat de vectorformule geen mintekens bevat.

De 1-dimensionale variant met een min in de noemer is kennelijk een ezelsbrug voor gevallen waarin vooraf duidelijk is dat de afstand daalt en de frequentie f_w stijgt (de ezelsbrug is dat je geen negatieve getallen hoeft in te vullen, dankzij de tekenafspraak dat snelheden positief worden gerekend in de richting van het andere object).

Zoals er een complementaire ezelsbrug is voor gevallen waarin vooraf duidelijk is dat de afstand stijgt en de frequentie f_w daalt (weer geen negatieve getallen invullen, dankzij de aangepaste tekenafspraak dat snelheden positief worden gerekend in de tegenovergestelde richting van het andere object). Doppler noteerde beide ezelsbruggetjes destijds in een combinatieformule met plus-of-mintekens: