sciencetalk

Ik heb een poging gewaagd om pi met behulp van regelmatige, ingeschreven veelhoeken te benaderen en in één formule te vangen. De formule schijnt alleen niet te kloppen. Ik ben er tenminste vrij zeker van dat pi niet ongeveer twintigduizendnogwat is. Ik ben als volgt te werk gegaan:
Hierbij moet gelden dat aangezien de veelhoek regelmatig is en een circel 360 graden heeft.

Ook geldt dat omdat de veelhoek ingeschreven is (en dus in de hoekpunten aan de cirkel raakt) en bovendien regelmatig is, waardoor de driehoeken die ontstaan bij het verbinden van twee aangrenzende hoekpunten met het middelpunt van de cirkel gelijkbenig moeten zijn. Dit geeft ons het volgende:
pi vrijmaken
noemer en teller rechts kwadrateren (niet links en rechts kwadrateren, alleen de teller en noemer rechts)
boven buiten de haakjes halen en uitdelen
Waarmee ook gelijk bewezen is dat de straal van de cirkel en pi onafhankelijk van elkaar zijn. Het probleem is echter dat deze formule (op mijn grafische rekenmachine) naar een veel te grote waarde nadert. Ik ben er tenminste vrij zeker van dat pi niet ongeveer tweeëndertigduizendnogwat is.

Mijn vraag is nu: wat heb ik verkeerd gedaan in het afleiden van de formule?

EDIT: Na het plotten van mijn formule zie ik dat de formule niet gewoon naar een te grote waarde nadert, maar zich daarvoor eerst erg chaotisch gedraagt. Zo geeft hij bij n=57 een waarde van 0.8633709901... terwijl hij daarvoor en daarna waarden van tussen de honderd en de duizend geeft. Nu ben ik echt verward.

Ehm als je rechts teller en noemer kwadrateert moet je links ook kwadrateren hoor.

als dan geldt niet algemeen dat . Sterker nog, dat geldt alleen als (stel beide z aan elkaar gelijk).

Verder moet je zeker zijn dat het argument van cosinus in graden mag staan. Schrijf eens in de plaats bij je berekening. Je moet dan wel rekening houden met het feit dat je uitkomt.

Ik kom het dan althans uit http://www.wolframalpha.com/input/?i=n% ... o+infinity

sjasogun1 schreef: ↑di 11 dec 2012, 12:23

\(\pi =\sqrt{ \frac{1}{2}n^2 (1 - \cos{\frac{360}{n}})}\)

Ik denk dat je RM niet op graden staat ...

JorisL schreef: ↑di 11 dec 2012, 12:39
Ehm als je rechts teller en noemer kwadrateert moet je links ook kwadrateren hoor.

als

\(z=\frac{x}{y}\)

dan geldt niet algemeen dat

\(z=\frac{x^2}{y^2}\)

. Sterker nog, dat geldt alleen als

\(x=y\)

(stel beide z aan elkaar gelijk).

Verder moet je zeker zijn dat het argument van cosinus in graden mag staan. Schrijf eens

\(cos(\frac{2\pi}{n}\)

in de plaats bij je berekening. Je moet dan wel rekening houden met het feit dat je

\(\pi^2\)

uitkomt.

Ik kom het dan althans uit http://www.wolframal...9+n+to+infinity

maar zelfs àls je de wortel neemt van het laatste, EN je schrijft 2pi (als je met radian werkt natuurlijk) ipv 360 (bij degree), kom je nog steeds geen pi uit..

Merk op dat naar nul toe gaat, terwijl naar oneindig gaat bij groeiende waarde van . De limiet van het product van die twee uitrekenen is dus niet triviaal.

Nou weet ik niet hoe jouw rekenmachine met dit soort problemen om gaat, maar ik kan me goed voorstellen dat je rekenmachine de cosinus niet nauwkeurig genoeg uitrekent, wat tot grote afwijkingen kan leiden.

Toen ik dit topic begon te lezen moest ik direct hieraan denken:

http://www.google.be/imgres?imgurl=http ... BA&dur=316

Ik zeg niet dat jij fout bezig bent, maar het is wel een leuke om eens te posten

Waarom niet gewerkt met de volgende formule
Naarmate je de n groter neemt, zal de uitkomst van de formule steeds dichter tot pi naderen.

aadkr schreef: ↑di 11 dec 2012, 19:21
Waarom niet gewerkt met de volgende formule

\(n \cdot \sin\left( \frac{360}{2n}\right)\)

Naarmate je de n groter neemt, zal de uitkomst van de formule steeds dichter tot pi naderen.

en in welk interval ligt n? want voor n = 100 ligt de uitkomst verder bij pi dan voor n = 7..

n=7 pi=3,0371

n=100 pi=3,141075

sorry, ik had 'em niet ingevuld in de formule..

wat is de formule die je uiteindelijk gebruikt?

Als we een regelmatige n hoek nemen ,dan bestaat deze uit n gelijkbenige driehoeken met benen gelijk aan R

Die middelpuntshoek van 1 zo''n gelijkbenige driehoek is dan toch gelijk aan 360/n

De halve middelpuntshoek is dan Dan geldt dat Met 1/2a is de helft van 1 van die zijden van die veelhoek

Omtrek veelhoek is n.a
Maar voor n nadert tot +oneindig zal n.a naderen tot

en dat, aadkr, vind ik een duidelijke formule om pi te benaderen

@TS.

Laat zien dat de formule van aadkr direct volgt uit de formule van de TS.

@JorisL

Je hebt inderdaad gelijk, ik heb een domme fout gemaakt met het kwadrateren (geen idee hoe ik dat over het hoofd heb kunnen zien), en mijn GR stond inderdaad nog op radialen. Nu doet de formule het verder prima.

@Safe

Oke, eens kijken of me dat lukt.
Met de verdubbelingsvormule Omdat geldt worteltrekken geeft dan dus geen negatief antwoord:
@aadkr

Bedankt voor de compactere formule, die is inderdaad een stuk eenvoudiger te gebruiken!