sciencetalk

Goedendag,

Ik weet dat:

\(A(\omega)=\frac{H_1(\omega)}{1+H_1(\omega)H_2(\omega)}\)

en dat:

\(H_1(-\omega)=H_1^*(\omega)\)

\(H_2(-\omega)=H_2^*(\omega)\)

Waarin * staat voor de complex conjugate.

Nu wordt er in de uitwerkingen van mijn boek gesteld dat:

\(A(-\omega)A(\omega)=\left |A(\omega) \right |^2\)

Ik kan dit echter niet bewijzen.

Als geldt dat

\(A(-\omega)=A^*(\omega)\)

dan geldt inderdaad dat

\(A(-\omega)A(\omega)=\left |A(\omega) \right |^2\)

.

Ik wil dus bewijzen dat

\(A(-\omega)=A^*(\omega)\)

.

Nu is:

\(A(-\omega)=\frac{H_1(-\omega)}{1+H_1(-\omega)H_2(-\omega)}=\frac{H_1^*(\omega)}{1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}\)

.

Maar dan ben ik er nog niet.

Kan iemand mij verder helpen?

Alvast bedankt!

\(A(-\omega)=\frac{H_1(-\omega)}{1+H_1(-\omega)H_2(-\omega)}=\frac{H_1^*(\omega)}{1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}\)

Dan

\(A(-\omega) = \frac{H_1^*(\omega)}{1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}\cdot\frac{1-H_1(\omega)H_2(\omega)}{1-H_1(\omega)H_2(\omega)} = \frac{H_1^*(\omega)\cdot (1-H_1(\omega)H_2(\omega))}{1-|H_1(\omega)|^2|H(\omega)|^2}\)

.

Probeer nu

\(A^*(\omega)\)

te bepalen op dezelfde manier.

Kom je er dan?

Hartelijk dank voor je reactie.

Ik vraag mij af waarom:

\((1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega))\cdot (1-H_1(\omega)H_2(\omega)) = 1-|H_1(\omega)|^2|H_2(\omega)|^2\)

Worden hier niet twee termen vergeten?

Mijn excuses, in de extra breuk moesten natuurlijk ook de complex toegevoegde waarden gebruikt worden.

Het komt erop neer dat je de noemer reëel wilt maken.

JorisL schreef: ↑ma 28 jan 2013, 01:49
Mijn excuses, in de extra breuk moesten natuurlijk ook de complex toegevoegde waarden gebruikt worden.

Het komt erop neer dat je de noemer reëel wilt maken.

JorisL schreef: ↑ma 28 jan 2013, 00:53
\(A(-\omega) = \frac{H_1^*(\omega)}{1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}\cdot\frac{1-H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}{1-H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)} = \frac{H_1^*(\omega)\cdot (1-H_1^*(\omega)H_2^*(\omega))}{1-|H_1(\omega)|^2|H(\omega)|^2}\)
.

Ik denk dat je eerst eens wat rekenregels moet uitzoeken. Bijvoorbeeld:

\((A B)^* = ((a+j b) (c+j d))^* = ((a c - b d)+j (a d + b c))^* = (a c - b d) - j (a d + b c) = (a-j b)(c - j d) = A^* B^*\)

Als je nu de volgende dingen uitzoekt dan is je opgave simpel:

\(\left( \frac{1}{A} \right)^* = \cdots\)

\(\left( 1 + A \right)^* = \cdots\)

Arie Bombarie schreef: ↑ma 28 jan 2013, 00:23
\(A(\omega)=\frac{H_1(\omega)}{1+H_1(\omega)H_2(\omega)}\)
en dat:

\(H_1(-\omega)=H_1^*(\omega)\)

\(H_2(-\omega)=H_2^*(\omega)\)
Waarin * staat voor de complex conjugate.

Nu wordt er in de uitwerkingen van mijn boek gesteld dat:

\(A(-\omega)A(\omega)=\left |A(\omega) \right |^2\)
Ik kan dit echter niet bewijzen.

Als geldt dat
\(A(-\omega)=A^*(\omega)\)
dan geldt inderdaad dat
\(A(-\omega)A(\omega)=\left |A(\omega) \right |^2\)
.

Ik wil dus bewijzen dat
\(A(-\omega)=A^*(\omega)\)
.

Nu is:

\(A(-\omega)=\frac{H_1(-\omega)}{1+H_1(-\omega)H_2(-\omega)}=\frac{H_1^*(\omega)}{1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}\)
.

Maar dan ben ik er nog niet.

Je schrijft niet op A*=...

Dat mis ik ...

Hartelijk dank voor de reacties!

Volgens mij ben ik er nu uit:

\(\left( \frac{1}{A} \right)^* = \left( \frac{1}{a+bj} \right)^*=\left( \frac{1}{a+bj}\cdot \frac{a-bj}{a-bj}\right)^*=\left( \frac{a-bj}{a^2+b^2} \right)^*=\frac{a+bj}{a^2+b^2}=\frac{A}{|A|^2}\)

Dus geldt ook (gebruikmakend van het bewijs van EvilBro):

\(\left (\frac{A}{B} \right )^*=\frac{A^*B}{|B|^2}\)

\((1+A)^*=(1+a+bj)^*=1+a-bj=1+A^*\)

Nu de complex conjugate van A(w):

\(A^*(\omega)=\left (\frac{H_1(\omega)}{1+H_1(\omega)H_2(\omega)} \right )^*=\frac{H_1^*(\omega)(1+H_1(\omega)H_2(\omega))}{\left |1+H_1(\omega)H_2(\omega) \right |^2}\)

Nu terug naar A(-w):

\(A(-\omega)=\frac{H_1^*(\omega)}{1+H_1^*(\omega)H_2^*(\omega)}\cdot\frac{1+H_1(\omega)H_2(\omega)}{1+H_1(\omega)H_2(\omega)}=\frac{H_1^*(\omega)(1+H_1(\omega)H_2(\omega))}{\left ((1+H_1(\omega)H_2(\omega) \right )^*(1+H_1(\omega)H_2(\omega))}=\frac{H_1^*(\omega)(1+H_1(\omega)H_2(\omega))}{\left |1+H_1(\omega)H_2(\omega) \right |^2}=A^*(\omega)\)

Dus inderdaad:

\(A(-\omega)A(\omega)=A^*(\omega)A(\omega)=\left |A(\omega) \right |^2\)

Ik zou zeggen:

\(\left( \frac{1}{A} \right)^* = \left( \frac{1}{a+bj} \right)^*=\left( \frac{1}{a+bj}\cdot \frac{a-bj}{a-bj}\right)^*=\left( \frac{a-bj}{a^2+b^2} \right)^*=\frac{a+bj}{a^2+b^2}=\frac{a+bj}{(a-bj)(a+bj)} = \frac{1}{a-b j} = \frac{1}{A^*}\)

Op die manier heb je de term met absoluutstrepen niet. Je hebt ook nog:

\(\left( A B \right)^* = A^* B^*\)

\(\left(1 + A \right)^* = 1 + A^*\)

dus:

\(A^* = \left(\frac{H_1}{1 + H_1 H_2}\right)^* = \left(H_1 \frac{1}{1 + H_1 H_2}\right)^*= \left(H_1 \right)^* \left(\frac{1}{1 + H_1 H_2}\right)^* = H_1^* \frac{1}{\left(1 + H_1 H_2\right)^*}= H_1^* \frac{1}{1 + \left(H_1 H_2\right)^*}\)

\(= H_1^* \frac{1}{1 + \left(H_1\right)^* \left( H_2\right)^*} = \frac{H_1^*}{1 + H_1^* H_2^*} = A(-\omega)\)

(ik heb hier meer stappen in gezet dan ik normaal zou doen voor de duidelijkheid.) De rest volgt dan eenvoudig.

Dat is een stuk eenvoudiger inderdaad.

Hartelijk bedankt, het is mij duidelijk

.

sciencetalk

Complex conjugate

Complex conjugate

Re: Complex conjugate

Re: Complex conjugate

Re: Complex conjugate

Re: Complex conjugate

Re: Complex conjugate

Re: Complex conjugate

Re: Complex conjugate

Re: Complex conjugate

Re: Complex conjugate