Ongelijkheid met minimumsfunctie aantonen
Geplaatst: do 31 jan 2013, 19:57
Beste lezers,
Variabelen en constanten zijn (enigszins) gebaseerd op de definities in mijn vorige topic: http://www.wetenscha...-en-variabelen/
Er bestaat een stationaire populatie
Zij
En zij
------
Laat zien dat
en
Mijn uitwerkingen:
De enige twee verschillen zijn dat
Kortom, als
Het lukt mij enkel om:
-----
Hoe moet ik dit dus oplossen? Ik hoop dat ik geholpen kan worden
- Fruitschaal.
Variabelen en constanten zijn (enigszins) gebaseerd op de definities in mijn vorige topic: http://www.wetenscha...-en-variabelen/
Er bestaat een stationaire populatie
\(C\)
, dus:\(\frac{C_{j+1}(t+1)}{C_j(t+1)} = \frac{C_{j+1}(t)}{C_j(t)}\)
, waarbij \(j \in \{0, ..., l-1\}\)
en \(t = \{0, 1, ...\}\)
(\(C_j(t)\)
staat voor het aantal mensen in leeftijdsgroep \(j\)
op tijdstip \(t\)
. Er zijn \(l+1\)
groepen genummerd van 0 t/m \(l\)
)Zij
\(\phi = (\phi_0, \phi_1, ..., \phi_l)\)
waarbij:\(\phi_i = \phi_i(t) = \frac{C_i(t)}{\sum^l_{k=0} C_k(t)}\)
, \(i \in \{0, 1, ..., l\}\)
Er moet nu aangetoond worden dat een willekeurige populatie \(A\)
convergeert naar de stationaire verdeling \(\phi\)
. Om dat aan te tonen, laat \(A\)
en \(B\)
twee algemene populaties zijn.En zij
\(m(t) = \min_{n=0,...,r} \frac{A_n(t)}{B_n(t)}\)
(\(0 < r < l\)
. Er zijn \(r + 1\)
vruchtbare leeftijdsgroepen, genummerd van \(0\)
tot en met \(r\)
)------
Laat zien dat
\(m(t) \leq m(t+1)\)
door gebruik te maken van de onderstaande voorwaarden:[/b]\(A_{j+1}(t+1) = A_j(t)p_j\)
met \(j \in \{0, ..., l - 1\}\)
\(A_0(t+1) = \sum^r_{k=0} A_k(t)f_k\)
(deze gelden ook voor \(B\)
)en
\(\frac{A_0(t+1)}{B_0(t+1)} = \frac{\sum^r_{k=0} A_k(t)f_k}{\sum^r_{k=0} B_k(t)f_k} = \frac{\sum^r_{k=0} \frac{A_k(t)}{B_k(t)}B_k(t)f_k}{\sum^r_{k=0} B_k(t)f_k}\)
-----\(p_j\)is de kans op overleving voor de mensen in leeftijdsgroep\(j\). Dus de hoeveelheid mensen\(A_{j+1}(t+1)\)is gelijk aan de hoeveelheid mensen\(A_j(t)\)vermenigvuldigd met\(p_j\). Dus\(A_{j+1}(t+1) = A_j(t)p_j\)Dit gaat niet op voor de hoeveelheid mensen\(A_0\), want er bestaan geen dingen als\(A_{-1}\)en\(p_{-1}\). Dit is dus een speciaal geval.\(f_k\)is de factor van vruchtbaarheid van de mensen in leeftijdsgroep\(k\).\(k\)ligt tussen\(0\)en\(k\), met\(k < l\), want mensen stoppen met het 'produceren' van kinderen als ze ouder dan een bepaalde leeftijd worden.
Mijn uitwerkingen:
\(m(t) = \min_{n=0,...,r} \frac{A_n(t)}{B_n(t)} = \min\left\{\frac{A_0(t)}{B_0(t)}, ..., \frac{A_r(t)}{B_r(t)}\right\}\)
\(m(t+1) = \min_{n=0,...,r} \frac{A_n(t+1)}{B_n(t+1)} = \min\left\{\frac{A_0(t+1)}{B_0(t+1)}, ..., \frac{A_r(t+1)}{B_r(t+1)}\right\} =\)
\(= \min\left\{\frac{\sum^r_{k=0} A_k(t)f_k}{\sum^r_{k=0} B_k(t)f_k}, \frac{A_0(t)p_0}{B_0(t)p_0}, ..., \frac{A_{r-1}(t)p_{r-1}}{B_{r-1}(t)p_{r-1}}\right\}\)
De overlevingskansen staan bij \(m(t+1)\)
in teller en noemer, dus die vallen tegen elkaar weg. Dat houdt in dat de elementen in de minimumsfunctie van \(m(t)\)
en \(m(t+1)\)
grotendeels overeenkomen.De enige twee verschillen zijn dat
\(m(t)\)
de term \(\frac{A_r(t)}{B_r(t)}\)
bevat en \(m(t+1)\)
niet.\(m(t+1)\)
daarentegen bevat \(\frac{\sum^r_{k=0} A_k(t)f_k}{\sum^r_{k=0} B_k(t)f_k}\)
en \(m(t)\)
niet.Kortom, als
\(\frac{A_r(t)}{B_r(t)} \leq \frac{\sum^r_{k=0} A_k(t)f_k}{\sum^r_{k=0} B_k(t)f_k}\)
geldt voor alle \(t \in \{0, 1, ...\}\)
, dan \(m(t) \leq m(t+1)\)
[/b].Het lukt mij enkel om:
\(\frac{\sum^r_{k=0} A_k(t)f_k}{\sum^r_{k=0} B_k(t)f_k} = \sum^r_{k=0} \frac{A_k(t)}{B_k(t)}\)
te stellen, maar dat helpt me ook niet verder.-----
Hoe moet ik dit dus oplossen? Ik hoop dat ik geholpen kan worden
- Fruitschaal.