sciencetalk

Het ‘zwakke’ vermoeden van Goldbach is na 227 jaar bewezen. Een wiskundige heeft laten zien dat elk oneven getal te schrijven is als drie priemgetallen.

De exacte formulatie van het zwakke vermoeden van Goldbach luidt dat elk oneven getal groter dan vijf geschreven kan worden als een som van drie priemgetallen. Zo is 31 te schrijven als 7+11+13. De stelling is simpel, maar het bewijs niet.

Het echte vermoeden van Goldbach zegt dat elk [even] getal te schrijven is als de som van twee priemgetallen. Dit is een ‘sterkere’ wiskundige stelling dan wat er nu bewezen is, omdat áls het echte vermoeden waar is, dan is het zwakke vermoeden waar. Immers, als elk getal als twee priemgetallen te schrijven is, dan kan elk oneven getal als drie priemgetallen geschreven worden, door gewoon drie op te tellen bij een even getal. Zo is het sterke vermoeden waar voor 12 (te schrijven als 7 + 5), en is dus het zwakke vermoeden waar voor 15.

Bron / lees meer:

Kennislink

Wetenschappelijke publicatie:

H. A. Helfgott: Major arcs for Goldbach's theorem

Zeer interessant. Alleen wel een beetje voorbarig in mijn ogen: het is nog niet de peer-review gepasseerd. Het kan natuurlijk kloppen (hopelijk!), maar Wiles zat indertijd ook eerst fout .

@citaat

Het echte vermoeden van Goldbach zegt dat elk getal te schrijven is als de som van twee priemgetallen.

--------------------------------------------------------------------

Dat lijkt me niet juist is hier niet het woord ''even'' weggevallen?

Anders zou elk oneven getal de som van: (2 + een andere priem) moeten zijn.

Dat had ik toch al verbeterd in de openingspost?:

confusie schreef: ↑zo 02 jun 2013, 11:29...

Het echte vermoeden van Goldbach zegt dat elk [even] getal te schrijven is als de som van twee priemgetallen.

...

Hoe Wikipedia het "sterke" vermoeden van Goldbach beschrijft:

Elk even getal groter dan 2 kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen (een priemgetal mag hierbij twee keer gebruikt worden).

confusie schreef: ↑ma 03 jun 2013, 16:15
Dat had ik toch al verbeterd in de openingspost?:

Hoe Wikipedia het "sterke" vermoeden van Goldbach beschrijft:

Elk even getal groter dan 2 kan geschreven worden als de som van twee priemgetallen (een priemgetal mag hierbij twee keer gebruikt worden).

Ja daar had ik overheen gekeken, komt omdat je wel ""even"" hebt toegevoegd in de openings-post maar niet vermeld dat het in het artikel vergeten is.

En als je dan op je gemak het artikel leest dan.... nou jij je snapt het wel.

Fun fact: de stelling is bewezen door een wiskunde hobbyist! 't Is te zeggen, iemand die lang geleden onderzoeker was, maar in zijn vrije tijd de literatuur opvolgde en zo uiteindelijk de stelling bewees.

Ook zijn gebruikte methode is niet uitzonderlijk. Het was door 'echte' wiskundigen een eindje geleden ook al geprobeerd, maar dan zonder succes.

Edit: gemist, beschrijving hierboven is van de man van de tweelingpriemgetallen: http://www.kennislink.nl/publicaties/tweelingpriemvermoeden-weer-een-stap-dichterbij

Zijn niet alle wiskundige in zekere zin hobyisten?

Ook zijn er wiskundige hobbyisten van naam geweest.

In zekere zin lijkt me dit sowieso hobby... heeft het uberhaupt enige praktische toepassing, en zo ja, is computerberekend 'bewijs' voor alle getallen tot 10^18 dan niet voldoende om aan te nemen dat het klopt?

Je kan het in de wiskunde zo gek niet bedenken, of het zal op enige tijd praktisch nut blijken te hebben. Maar vaak gaat daar wel geruime tijd overheen. Overigens geldt dat voor fundamentele wetenschap in het algemeen. De motivatie van de wetenschappers die zich daar mee bezighouden is dan ook vaak dat ze er plezier in hebben dingen te bedenken en uit de pluizen. Daarmee maken ze inderdaad van hun hobby hun werk.

Interessante link:

http://archive.org/d...sofgre005808mbp

Benm schreef: ↑di 04 jun 2013, 17:52
In zekere zin lijkt me dit sowieso hobby... heeft het uberhaupt enige praktische toepassing, en zo ja, is computerberekend 'bewijs' voor alle getallen tot 10^18 dan niet voldoende om aan te nemen dat het klopt?

Nee, een wiskundig bewijs moet per definitie keihard zijn, anders is het simpelweg geen wiskundig bewijs. Of het in de praktijk voldoende is is weer een heel andere vraag, maar daar gaat het niet om.

Bovendien gaat het bij dit soort zaken niet alleen om het resultaat, maar ook (en misschien nog wel veel belangrijker) om de manier waarop het resultaat bereikt is. Als iemand dit probleem met een totaal nieuw inzicht heeft weten op te lossen, kan datzelfde inzicht misschien nog voor talloze andere problemen gebruikt worden.

Ik denk dat dat wel een groot verschil is met fundamenteel onderzoek in andere vakgebieden.

Uiteraard wordt er ook in natuurkunde, scheikunde etc fundamenteel onderzoek gedaan waarbij niet direct duidelijk is of het ooit een praktische toepassing zal hebben.

Verschil is echter wel hoe men met 'bewijs' om gaat. Als het voor alle getallen <10^18 controleerbaar correct is, dan is dat in de wiskunde blijkbaar geen bewijs. Je zal echter zelden zien dat iemand een empirisch resultaat verwerpt omdat je het slechts een miljard miljard keer hebt gemeten, en het daardoor niet vast staat dat het in alle gevallen op gaat.

Wiskunde is als wetenschap apart omdat het geen empirische component heeft. Als je een natuurkundig, scheikundig of biologisch experiment uitvoert dan is de 'bewijslast' daarvan dat het herhaalbaar is, liefst door een ongerelateerde groep. 'Meten is weten' is daarbij een aardige uitspraak, maar dan moet je natuurlijk wel iets te meten hebben

Benm schreef: ↑wo 05 jun 2013, 02:12
Verschil is echter wel hoe men met 'bewijs' om gaat. Als het voor alle getallen <10^18 controleerbaar correct is, dan is dat in de wiskunde blijkbaar geen bewijs. Je zal echter zelden zien dat iemand een empirisch resultaat verwerpt omdat je het slechts een miljard miljard keer hebt gemeten, en het daardoor niet vast staat dat het in alle gevallen op gaat.

In de natuurkunde staat het dan ook niet vast? Het is toch alleen maar zeer waarschijnlijk? Iets wat voor wiskunde ook geldt: iedereen (nuja, de meesten?) zijn er wel van overtuigd dat het voor alle getallen moet gelden als het voor de eerste 10^x met x groot genoeg geldt. Maar dat is nu eenmaal geen bewijs. In wiskunde niet, maar in natuurkunde ook niet (zou ik denken, want ben nu wel geen fysicus ).

Wiskunde is als wetenschap apart omdat het geen empirische component heeft.

Ben ik niet volledig mee eens. Er is wel degelijk een empirische component. Alleen telt die niet als bewijs. Die component duwt je in de richting van een vermoeden: dat iets klopt (want je vindt geen tegenvoorbeeld) of dat iets niet klopt (en je vindt een tegenvoorbeeld). Maar dat een "vermoeden omdat het klopt voor de eerste 10^18 getallen" geen bewijs is, lijkt me maar normaal.

Vast staan is wellicht een relatief begrip, maar bij natuurkunde staat toch wel vast dan bijvoorbeeld 2 vrije electronen elkaar afstoten, en binnen een zekere nauwkeurigheid ook met welke kracht gegeven een bepaalde afstand ertussen. Dit is echter niet getest met alle electronen in het universum, maar gezien ze allemaal hetzelfde zijn zal niemand vragen dat te doen.

Of zo'n vermoeden klopt als het voor de eerste X getallen werkt hangt denk ik een beetje af van de preciese details. Als je naar het vermoeden van Goldbach kijkt en het test voor oplopende getallen, is er een trend dat het mogelijk is een getal op steeds meer manieren als som van 3 priemgetallen te schrijven. Je zou dan niet verwachten opeens een enorm getal te vinden (iets van 20 cijfers lang oid) waarbij het opeens niet meer werkt.

Benm schreef: ↑wo 05 jun 2013, 02:12
Verschil is echter wel hoe men met 'bewijs' om gaat. Als het voor alle getallen <10^18 controleerbaar correct is, dan is dat in de wiskunde blijkbaar geen bewijs.

Het is ook wel logisch dat dat niet als wiskundig bewijs geldt, want anders zou je volslagen onzinnige situaties kunnen krijgen. Om even een heel flauw voorbeeld te geven:

de stelling "Alle getallen zijn kleiner dan 10^19" is overduidelijk incorrect. Echter, de eerste 10^18 getallen voldoen wel degelijk aan de eigenschap dat ze kleiner zijn dan 10^19.

Natuurlijk is het in deze situatie direct duidelijk dat er iets mis is met deze logica, en is dat veel minder duidelijk bij ingewikkeldere stellingen, maar dit geeft wel precies aan waarom we wiskunde niet als emperische wetenschap mogen beschouwen.

In de natuurkunde gaan we er vanuit dat ieder elektron aan dezelfde wetten voldoet, dus als we iets een miljoen keer gemeten hebben, gaan we er van uit dat het wel altijd en voor ieder elektron zal moeten gelden. Maar in de wiskunde kan dat niet omdat juist ieder getal per definitie anders is.

^ What he said .

Overigens, het "grappige" in dit geval (oneven vermoeden) is dat men het voor "voldoende" grote getallen wél al lang wist dat het klopt. Wat voldoende groot nu juist was, was eerst niet duidelijk, maar in de loop der (tientallen) jaren had men wel grenzen gevonden. De laatste (mij bekende) was iets van dat het zeker gold voor getallen groter dan ongeveer 10⁸⁰⁰⁰. Overigens een vrij goede grens nog, wetende dat het begonnen is met een grens van ongeveer 10^{7 000 000} . Het "probleem" zat dus in de "kleine" getallen .