sciencetalk

Hallo allemaal

Ik heb eens over iets banaals zitten nadenken: de naamgeving aan het wiskundige fenomeen "kans- of waarschijnlijkheidsberekening".

In de wiskunde is waarschijnlijkheidsberekening en kansberekening hetzelfde.

Maar als je er even over gaat nadenken, weet je toch dat waarschijnlijkheid en kans niet hetzelfde is?

Dit illustreer ik aan de hand van een alledaags voorbeeldje:

Men vraagt om een willekeurig natuurlijk getal te kiezen.

De kans dat je dan een getal kiest van 0 tot 20, is 20 op oneindig. Akkoord?

De kans dat je een getal kiest van 1 000 000 000 tot 1 000 000 020 is ook 20 op oneindig.

Enzovoort.

Maar door ons 'menselijk zijn', denk ik, is de waarschijnlijkheid dat je een getal van 0 tot 20 kiest, vele malen groter dan dat je een getal kiest van 1 000 000 000 tot 1 000 000 020

Dus, hoewel de kans hetzelfde is, is de waarschijnlijkheid verschillend.

Is deze redenering, al dan niet in de wiskunde, enigszins aanvaardbaar?

Bedankt.

Maar als je er even over gaat nadenken, weet je toch dat waarschijnlijkheid en kans niet hetzelfde is?

Aangezien een synoniem voor 'kans' 'waarschijnlijkheid' is, zou je dat niet moeten weten. Je zou moeten weten dat het hetzelfde is. Zie een woordenboek (bijvoorbeeld hier).

Men vraagt om een willekeurig natuurlijk getal te kiezen.

Het is onmogelijk om een uniforme kansverdeling te hebben voor het kiezen van een natuurlijk getal uit alle natuurlijke getallen. Mensen hebben al helemaal geen uniforme kansverdeling. Dit heeft niks te maken met eventuele verschillen in betekenis van de woorden 'kans' en 'waarschijnlijkheid'.

De kans dat je dan een getal kiest van 0 tot 20, is 20 op oneindig. Akkoord?

Niet akkoord. "20 op oneindig" is betekenisloos.

Is deze redenering, al dan niet in de wiskunde, enigszins aanvaardbaar?

Ik zou zeggen van niet. Het is best dat jij denkt dat er een verschil is tussen de twee woorden, maar daar sta je alleen in. Zowel wiskunde als nederlands is het niet met je eens.

20 op oneindig is de kans dat je een getal trekt tussen 0 en 20. Uiteraard ook voor dat ander interval. Maar dat is toch niet de kans dat je een getal zou trekken uit dat interval?

Er is dus een wezenlijk verschil tussen de kans dat je een getal trekt uit een gegeven interval, bvb [0,20] en de kans dat je een getal trekt uit een interval. Bij het ene wil je weten wat de kans is dat je een bepaald getal neemt uit [0,20] , bij de andere wil je weten wat de kans is dat je een getal trekt uit een bepaald interval. Jij haalt deze 2 door elkaar.

Het begrip van kans zoals het in de wiskunde gebruikt wordt is vrij strikt gedefinieerd: stochastische processen/gebeurtenissen gaan gepaard met een kansdichtheids- (continu) of kansmassa (discreet) functie.

De belangrijkste eigenschap daarvan is dat de totale oppervlakte onder die functie moet gelijk zijn aan 1 (100% kans).

In het probleem dat jij stelt is er onderliggend ook een kansdichtheidsfunctie, gebaseerd op de gedachtegang van de meerderheid van de mensen. Als je aan de gemiddelde mens vraagt om een willekeurig getal te kiezen waarbij je geen grenzen specificeert, dan zal dat zeer waarschijnlijk tussen 0 en 100 liggen, maar je zal al wel eens een excentriekeling tegenkomen die 18933456 of iets dergelijks bedenkt. Zo'n 95% van die kansdichtheid zal dan tussen de 0 en 100 liggen, maar er zijn ook lange staarten naar links en rechts. Het blijft echter wel gewoon een kansfunctie.

In sommige situaties is heb je wel degelijk te maken met iets dat lijkt op 'kans', maar geen echte kans is omdat je bijvoorbeeld kansen groter dan 100% kan krijgen. De functie is dan niet genormaliseerd. In het Engels heb je dan bijvoorbeeld de likelihood functie die in patroonherkening, parameterschatten, etc. vaak gebruikt wordt.

Wat mij betreft sluit Xenions bericht het meest aan bij dit topic.

Als laatste zou ik willen weten of waar ik het over heb een term heeft, zoals kans of waarschijnlijkheid (dus wat ik eerst waarschijnlijkheid noemde) en of dit toch enige (wiskundige) waarde heeft.

The Taffer schreef: ↑di 09 jul 2013, 19:17
Als laatste zou ik willen weten of waar ik het over heb een term heeft, zoals kans of waarschijnlijkheid (dus wat ik eerst waarschijnlijkheid noemde) en of dit toch enige (wiskundige) waarde heeft.

Wel, als je de redenering volgt die ik hierboven maakte dan spreek je gewoon over kans. Waarschijnlijkheid betekent net hetzelfde.

Als ik op wikipedia naar de pagina over 'likelihood' ga en dan doorklik naar de nederlandse versie, dan spreken ze over 'aannemelijkheid'. Ik denk dat dit dan de term is waar jij naar op zoek bent.

Ik zou het bekijken als een verschil tussen kansverdelingen waar jij op doelt in je openingspost.

Eerst ga je dan (naief) uit van een uniforme verdeling. Het probleem is dat zo'n verdeling niet bestaat. Dat is ook makkelijk in te zien aan de hand van de definitie. In eindige intervallen zou dat wel een eerste benadering kunnen zijn.

In een volgende stap wordt de veronderstelling dan verfijnd, eventueel aan de hand van eerdere steekproeven oid.

Dan zal er een andere verdeling optreden. Hierin wordt dan het "menselijk zijn" feitelijk wel in rekening gebracht. Je gaat dus een ander (verder verfijnd zo je wilt) voorbeeld beschouwen in de strikte zin.

Hieruit kan je dan concluderen dat het door jou intuitief aangevoelde verschil tussen kans en waarschijnlijkheid in feite over 2 verschillende 'proeven' gaat.