1 van 2
bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: za 14 sep 2013, 20:51
door heikneuter
Goedenavond, ik heb van de wiskundeleraar het boekje Complexe getallen van Bert Nijdam en Hans Freudenthal geleend. Ik kom niet uit het volgende stukje:
Code: Selecteer alles
Toon aan dat iedere kwadratische vergelijking az^2+bz+c=0 (a,b,c∈R en a ≠0) te schrijven is als a(z-α)(z-β)=0 met α,β∈ C.
Een kwadratische vergelijking heeft in C tenminste 1 oplossing; twee als α≠β en 1 als α=β. Wanneer doet dit laatste zich voor?
Kan iemand hier te hulp schieten? B.v.d.
Groeten Michel.
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: za 14 sep 2013, 21:57
door Th.B
Ken je de standaardoplossing voor een kwadratische vergelijking (de abc-formule)? Daar had je 3 gevallen: D > 0 geeft 2 oplossingen, D = 0 geeft er 1 en D < 0 betekent geen oplossing in R. De formule blijft precies hetzelfde voor complexe getallen, maar D < 0 geeft nu gewoon 2 oplossingen. Die discriminant is dus meer een maat voor het aantal oplossingen, niet voor of ze bestaan of niet. D = 0 geeft 1 oplossing (de grafiek raakt x-as) en D niet-nul betekent 2 oplossingen, beide met complex deel 0 of complex deel niet-nul.
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: zo 15 sep 2013, 12:54
door Safe
Je moet dus laten zien dat je alpha en beta altijd in de vorm p+qi kan schrijven. Denk eraan dat a,b,c element van R zijn.
Op dit punt in dit boekje kan je het nog niet laten zien voor a,b,c element van C ...
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: di 17 sep 2013, 17:51
door tempelier
Een beroep op de abc-formule lijkt me onjuist, er zou dan eerst aangetoond moeten worden dat die ook voor complexe waarden geldt.
Het bewijs kan gevonden worden via kwadraat afsplitsen.
(dat is ook een van de manieren om de abc-formule te vinden)
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: di 17 sep 2013, 20:06
door Safe
@tempelier
Gegeven: a, b en c uit R, ...
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: di 17 sep 2013, 20:31
door tempelier
Safe schreef: ↑di 17 sep 2013, 20:06
@tempelier
Gegeven: a, b en c uit R, ...
Klopt.
Maar het gaat er om of de complexe antwoorden ook daadwerkelijk complexe oplossingen zijn.
Daarvoor moet de afleiding wel worden nagelopen.
Vergeet ook niet dat vormen met wortels zich in C wat anders benadert moeten worden.
Niet voor niets wordt de vorm
\(\sqrt{-1}\)
vermeden.
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: di 17 sep 2013, 21:35
door Safe
De afleiding van de abc-formule is altijd geldig, maar als (in C) de discriminant complex is kan je niet 'zomaar' worteltrekken ...
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: di 17 sep 2013, 21:38
door tempelier
Dat is waar, maar toch moet het wel eerst worden aangetoond dat je er zo mee mag werken.
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: di 17 sep 2013, 22:42
door Th.B
Ik kan niet begrijpen wat nu volgens tempelier het probleem is. Voor a, b, c, uit R is de gegeven formule geldig want je splitst gewoon het kwadraat af etc. en je weet dat de complexe antwoorden ook complexe oplossingen zijn, immers ze voldoen aan de vergelijking omdat de afleiding klopt in al zijn algemeenheid. Dat je er nog wat moeilijker over kan doen als a, b, c complex deel ongelijk aan nul hebben, daar kan ik me wat bij voorstellen.
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: do 19 sep 2013, 20:51
door heikneuter
Dank voor jullie aanwijzingen, toen ik wist waar ik moest beginnen bleek het eigenlijk heel eenvoudig.
Ik ben er inmiddels wel achter dat de wiskundeleerlingen in de jaren 70 wat meer leerden dan wij nu bij wiskunde B, het is zeker een leerzaam boekje.
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: do 19 sep 2013, 21:31
door Safe
Laat je bewijs eens zien ...
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: za 21 sep 2013, 13:20
door mathfreak
heikneuter schreef: ↑do 19 sep 2013, 20:51
Ik ben er inmiddels wel achter dat de wiskundeleerlingen in de jaren 70 wat meer leerden dan wij nu bij wiskunde B, het is zeker een leerzaam boekje.
Even ter aanvulling: het boekje wat jij noemde was een van de keuze-onderwerpen voor Wiskunde II. Dit was een keuzevak waarbij de nadruk werd gelegd op vectormeetkunde, matrices en determinanten. Leerlingen die een exact-wetenschappelijke vervolgopleiding wensten te volgen moesten Wiskunde I kiezen, dat naast analyse (limieten, continuïteit, differentiaal- en integraalrekening en differentiaalvergelijkingen van de eerste orde) ook kansrekening en statistiek bevatte.
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: za 21 sep 2013, 16:49
door heikneuter
Safe schreef: ↑do 19 sep 2013, 21:31
Laat je bewijs eens zien ...
Code: Selecteer alles
Ik vervang alfa even door x en beta door y.
a(z-x)(z-y)=0 geeft z = x of z= y
Dus moet je voor x en y de oplossingen van de abc-formule kiezen, zodat de oplossingen hetzelfde zijn als bij de originele vergelijking:
x= (-b+√(b^2-4ac))/2a en y=(-b-√(b^2-4ac))/2a
a(z-x)(z-y)=a(z^2-(x+y)z+xy)
x+y= (-b+√(b^2-4ac)-b-√(b^2-4ac) )/2a= (-2b)/2a=-b/a
xy= (-b+√D)/2a × (-b-√D)/2a= (b^2-D)/〖4a〗^2 = (b^2-(b^2-4ac))/(4a^2 )= 4ac/(4a^2 )= c/a
De gevonden x + y en xy invullen geeft dan:
a(z^2-(x+y)z+xy=a(z^2+b/a z+c/a)=az^2+bz+c
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: za 21 sep 2013, 17:07
door heikneuter
Excuses dat het er zo onduidelijk staat, weet iemand hoe je de formules goed in moet voeren?
Re: bewijs complexe vergelijking
Geplaatst: za 21 sep 2013, 17:54
door mathfreak