De radius en massa van een voorwerp waarvan het niet mogelijk is te ontsnappen.
Geplaatst: za 21 sep 2013, 22:21
Hallo, ik had laatst een discussie met iemand die stelde dat de klassieke mechanica geen object zoals een
zwartgat toelaat. Dus het leek mij een goed idee een poging te doen om te bewijzen dat zoiets wel degelijk mogelijk is, of in ieder geval de kenmerkende eigenschap dat er niks aan kan ontsnappen.
Ik ben niet uitgaan van een singulariteit maar simpelweg een bolvormige massa, met de veronderstelling dat massa toeneem met ~
Dit geeft, wanneer ik voor de dichtheid
Nou vroeg ik mij af, aangezien mijn mechanica niet is wat het zou moeten zijn, heb ik dit zo correct gedaan?
Ookal had deze persoon het waarschijnlijk over singulariteiten, het leek me alsnog een leuke oefening om dit eens op deze manier te bekijken.
Mvg
Grub
zwartgat toelaat. Dus het leek mij een goed idee een poging te doen om te bewijzen dat zoiets wel degelijk mogelijk is, of in ieder geval de kenmerkende eigenschap dat er niks aan kan ontsnappen.
Ik ben niet uitgaan van een singulariteit maar simpelweg een bolvormige massa, met de veronderstelling dat massa toeneem met ~
\(r^3\)
en dat een voorwerp probeert weg te komen vanaf het oppervlak (tot oneindig), zodat dus de minimale afstand tot de massa met \(r\)
toeneemt. Waardoor er vervolgens een moment is dat er een snelheid groter dan de lichtsnelheid nodig zou zijn om weg te kunnen komen vanaf dat punt. Ik heb het vervolgens zo uitgewerkt:\(\vec{F}=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^2}\Hat{r} \)
\(\vec{F}=-\nabla E\)
\(E=-\int_b^a G\frac{m_{1}m_{2}}{r^2} \,\mbox{d}r=Gm_{1}m_{2}[1/r]^a_{b}\)
\(a=R,b=\infty\)
\(E=Gm_{1}m_{2}\left(\frac{1}{R}-\lim_{b \to \infty}\frac{1}{b}\right)=G\frac{m_{1}m_{2}}{R}\)
\(E=\frac{1}{2}m_{2}s^2\)
\(G\frac{m_{1}m_{2}}{R}=\frac{1}{2}m_{2}s^2\)
\(G\frac{m_{1}m_{2}}{R}=\frac{1}{2}m_{2}s^2\)
\(G\frac{m_{1}}{R}=\frac{1}{2}s^2\)
vervolgens bereken ik de massa radius verhouding\(\alpha=\frac{m}{R}=\frac{s^2}{2G}\)
\(G=6,67\cdot10^{-11} \ \mbox{Nm^2}/\mbox{kg^2}, \ s=3\cdot10^8 \ \mbox{m/s}\)
\(\alpha=2,25\cdot10^{26} \ \mbox{kg^2}/\mbox{Ns^2}\)
en de massa radius verhouding volgens dichtheid en volume\(\frac{m}{R}=\rho \frac{4}{3}\pi R^2\)
daarna dit met het voorgaande combineren\(\alpha=\rho\frac{4}{3}\pi R^2\)
\(R=\sqrt{\frac{3\alpha}{4\pi\rho}}\)
.Dit geeft, wanneer ik voor de dichtheid
\(2,65\cdot 10^3 \ \mbox{kg}/\mbox{m^3}\)
kies, een voorwerp met een radius van \(1,4\cdot 10^{11} \ \mbox{m}\)
en een massa \(3,2\cdot 10^{37} \ \mbox{kg}\)
. Toegegeven het is vrij veel, maar gelukkig nog altijd minder dan de massa van het waarneembare universum. Ik realiseer me dat dit geen echt bewijs is of iets dergelijks, maar het laat hopelijk enigszins zien dat er wellicht een object zou kunnen bestaan waarvan het niet mogelijk is te ontsnappen.Nou vroeg ik mij af, aangezien mijn mechanica niet is wat het zou moeten zijn, heb ik dit zo correct gedaan?
Ookal had deze persoon het waarschijnlijk over singulariteiten, het leek me alsnog een leuke oefening om dit eens op deze manier te bekijken.
Mvg
Grub
