sciencetalk

Hoi,
 
Volgende opgave ben ik mee bezig:
 
Bewijs met volledige inductie dat voor alle Eerst de basisstap, namelijk aantonen dat het voor S(n) n=1 klopt. De uitkomst is 1, dus dit is in orde.
 
Vervolgens stel ik dat dat betekent:
   
Dit is de inductieveronderstelling.
 
Ik kom ook tot het punt waarop ik weet wat er van mij wordt verwacht. Ik moet aantonen dat:
   
En dat leidt ertoe dat ik moet aantonen dat:
   
Het begin daarvan gaat ook nog prima:
   
Vervolgens neem ik het deel waar nu nog i wordt gebruikt en vervang dat voor het deel zoals ik dat weet uit eerder werk. Dat geeft:
   
Hier loop ik echter vast, ik weet namelijk niet goed hoe ik de termen met faculteiten en dergelijke weg moet werken (dat is vraag 1). Daarnaast weet ik ook niet hoe ik het eindresultaat van mijn bewijs (dus wanneer ik de veronderstelling heb bereikt) zo dien te noteren, dat dit in orde is (vraag 2).
 
Alvast bedankt voor de hulp,
 
Dennis.

DennisvanderVeen schreef: Het begin daarvan gaat ook nog prima:

\(\sum_{i=1}^{k+1} i \cdot (i!) = \sum_{i=1}^{k}i \cdot (i!) + (k+1) \cdot (k+1)\)

Hier heb je een foutje, je bent een faculteit vergeten.
 
Doe verder met volgende:

DennisvanderVeen schreef:

\(\sum_{i=1}^{k + 1} i \cdot (i!) = (k+2)! -1\)

Blijf beide leden schrijven (dit is overzichtelijker). Je wilt dit uiteindelijk 'omvormen' naar de inductieveronderstelling, want die is waar. De eerste stap die je deed in het linkerlid was al in de goeie richting, maar zoals ik al aangaf zit er een foutje in. Er moet ook iets gebeuren met het rechterlid.
Maak gebruik van volgende rekenregels:  
I.v.m. vraag twee, begrijp je hoe volledige inductie in elkaar zit (m.a.w., zie je de logica ervan in)? Zo niet leg ik het even uit, dan zie je makkelijker in hoe je zoiets moet formuleren.

 
 
Je bent bijna klaar, er staan twee termen met (k+1)!, haal die factor buiten haakjes ...

Flisk schreef:

Hier heb je een foutje, je bent een faculteit vergeten.
 
Doe verder met volgende:
Blijf beide leden schrijven (dit is overzichtelijker). Je wilt dit uiteindelijk 'omvormen' naar de inductieveronderstelling, want die is waar. De eerste stap die je deed in het linkerlid was al in de goeie richting, maar zoals ik al aangaf zit er een foutje in. Er moet ook iets gebeuren met het rechterlid.
Maak gebruik van volgende rekenregels:

\((a+1)!=a!(a+1)\)

\(ab\pm ac=a(b\pm c)\)

 
I.v.m. vraag twee, begrijp je hoe volledige inductie in elkaar zit (m.a.w., zie je de logica ervan in)? Zo niet leg ik het even uit, dan zie je makkelijker in hoe je zoiets moet formuleren.
 

 
 
 

Ik snap wat ik aan het doen ben (ik toon aan dat als voor een bepaalde waarde van k geldt dat de functie klopt, en ik kan laten zien dat de functie ook klopt voor een k + 1, dat de functie dan in alle gevallen (dus voor elke k) opgaat). De logica daarachter begrijp ik, wat ik niet helemaal begrijp is hoe ik mijn eindresultaat zo kan noteren dat dit duidelijk is. Het aanbod van het formuleren zou ik daarom graag aannemen, als je dat doen wilt.
 
De fout is volgens mijn dat ik vergeten ben achter de laatste (k+1) een ! te zetten, klopt die constatering?
 
Ik ga proberen de rekenregels toe te passen, klopt het dat ik dan de volgende reeks krijg? (in combinatie met het punt waarvan safe zegt dat ik ermee verder moet werken.
   
Volgens mij ga ik op dit moment de verkeerde kant op, aangezien ik op deze wijze nooit uit kan komen om datgene waar ik naartoe probeer te werken. 
 
 

Safe schreef:

\((k+1)! - 1 + (k+1) \cdot (k+1)!\)

 
 
Je bent bijna klaar, er staan twee termen met (k+1)!, haal die factor buiten haakjes ...

Het buiten haakjes halen is datgene wat ik lastig vind nu er faculteiten bij komen kijken. Met bovenstaande rekenregels heb ik het idee dat ik de verkeerde kant op aan het gaan ben (ik pas ze verkeerd toe vrees ik).

Zet in (k+1)!-1+(k+1)(k+1)! de termen met (k+1)! eens bij elkaar en haal dan eens een factor (k+1)! buiten haakjes.

mathfreak schreef: Zet in (k+1)!-1+(k+1)(k+1)! de termen met (k+1)! eens bij elkaar en haal dan eens een factor (k+1)! buiten haakjes.

=(k+1)! - 1 + (k+1)(k+1)!
=2(k+1)! + (k+1) - 1
=(2k + 2)! + (k+1) - 1
=(2k+2)! + k + 1 - 1
=(2k+2)! + k
=2k!(2k+2) + k
 
Wat zou dan de volgende stap worden? Ervanuitgaande dat in bovenstaande reeks geen fout zit.

Je volgt de hint niet ...
 

Safe schreef:

\((k+1)! - 1 + (k+1) \cdot (k+1)!\)

 
 
Je bent bijna klaar, er staan twee termen met (k+1)!, haal die factor buiten haakjes ...

 
Zet voor (k+1)! de letter A ... , wat staat er dan?
Haal dan A buiten haakjes ...

Safe schreef: Je volgt de hint niet ...
 
 
Zet voor (k+1)! de letter A ... , wat staat er dan?
Haal dan A buiten haakjes ...

 
(k+1)! wordt dan A(k+1)!
 
Volgens de rekenregels staat er dan: (Ak + A)!
 
Volgens de andere rekenregel wordt dat: Ak!(Ak + A)
 
Als ik die verder uitwerk denk ik dat er het volgende komt: Ak!*Ak + Ak * A,
 
Dat lijkt alsof het nergens op slaat..
 
Pff, voel me echt gigantisch dom op het moment...

Zie die (k+1)! gewoon als een vast getal, je moet er niets aan veranderen.
Kijk: stel (k+1)! gelijk aan a: Dit is trouwens gewoon distributiviteit van de reële getallen.
 
Nu gebruikte je die rekenregel foutief, je mag niet zomaar getallen binnen en buiten de haakjes plaatsen, want er staat een faculteit.
 
 

Nog een opmerking:

DennisvanderVeen schreef:  (Ak + A)!
 
Volgens de andere rekenregel wordt dat: Ak!(Ak + A)

Dit mag ook niet. Als je hier die andere rekenregel wilt toepassen wordt het (Ak + A)!= (Ak+A-1)! (Ak + A). 

 

DennisvanderVeen schreef:Pff, voel me echt gigantisch dom op het moment...

Trek het je niet aan, iedereen komt wel eens een oefening tegen die even niet gaat.Je bent waarschijnlijk gewoon in de war omdat er faculteittekens aan te pas komen. Laat je er niet teveel door afleiden.

DennisvanderVeen schreef:  
(k+1)! wordt dan A(k+1)!
 
 

 
Nee, je 'poetst' (k+1)! weg, en zet er A voorin de plaats (dat heet substitueren!) ...

Safe schreef:  
Nee, je 'poetst' (k+1)! weg, en zet er A voorin de plaats (dat heet substitueren!) ...

Ik heb het gevoel (ook met bovenstaande hints er weer bij gepakt en het antwoordmodel ter vergelijking), dat ik een stuk dichterbij de oplossing ben.
 
Ik heb nu het volgende gedaan:
 
Uitgangssituatie: (k+1)! - 1 + (k+1)(k+1)!
 
(k+1)! noemen we A.
 
Dan krijg ik:
 
A - 1 + A(k+1)
A - 1 + Ak + A
2A + Ak - 1
 
2(k+1)! + k(k+1)! - 1
 
(k+1)!(k + 2) - 1
 
Het antwoordmodel geeft bovenstaande als op een na laatste stap aan, het model besluit als volgt:
 

(k + 1)!(1 + (k + 1)) − 1 = (k + 1)!(k + 2) − 1 = (k + 2)! − 1.
 
Mijn (waarschijnlijk) laatste vraag is nu, van welke rekenregel heeft men gebruik gemaakt om van (k+1)!(k+2) de waarde (k+2)! te maken?
 
Ik wil jullie heel erg bedanken voor al het geduld met mij in deze haha. Ik studeer Technische Wiskunde, maar door een aantal omstandigheden is mijn weg daarheen niet altijd ' standaard ' geweest. Iets wat ik nu merk aan het feit dat ik dit soort relatief eenvoudige begrippen (zoals substitutie) soms lastig vind, terwijl disciplines zoals Lineaire Algebra over het algemeen erg goed gaan.

DennisvanderVeen schreef:  

Mijn (waarschijnlijk) laatste vraag is nu, van welke rekenregel heeft men gebruik gemaakt om van (k+1)!(k+2) de waarde (k+2)! te maken?
 

 
Dat volgt gewoon rechtrstreeks uit de definitie van de faculteit. Vul maar een een paar waarden voor k in, bijv. k=5,  schrijf het helemaal uit en dan zie je vanzelf dat het klopt.

DennisvanderVeen schreef: A - 1 + A(k+1)

 
Hier staat A+A(k+1) -1
Die -1 heb je nodig (zie wat je wilt bewijzen), haal uit de eerste twee termen A buiten haakjes ...
 
Wat betekent (k+2)! ...

Safe schreef:  
Hier staat A+A(k+1) -1
Die -1 heb je nodig (zie wat je wilt bewijzen), haal uit de eerste twee termen A buiten haakjes ...
 
Wat betekent (k+2)! ...

 

A + A(k+1) -1
=A + Ak + A -1
=2A + Ak - 1
 
=2(k+1)! + k(k+1)! - 1
 
=(k+1)!(k + 2) - 1
 
Dat is wat ik daaronder heb gedaan, dan kom ik ook uit op een vorm zoals die in het antwoordmodel staat. Heb ik dat correct gedaan of niet? Ik heb geprobeerd de gegeven rekenregels toe te passen.
 
Wat betekent (k+2)!?
 
Ik snap de vraag niet helemaal. Bedoel je wat (k+2)! wiskundig gezien inhoud? Dan krijg je namelijk:
 
k! = k * (k-1) * (k-2) ... 
(k+1)! = (k+1) * k * k(-1) ...
(k+2)! = (k+2) * (k+1) * k * (k-1) ...
 
Hieruit kan ik wel het antwoord op mijn vraag afleiden die ik stelde en die beantwoord werd door 'Math-E-Mad-X'
 
 
 

Ziet er goed uit.
 

DennisvanderVeen schreef: Mijn (waarschijnlijk) laatste vraag is nu, van welke rekenregel heeft men gebruik gemaakt om van (k+1)!(k+2) de waarde (k+2)! te maken?

In je laatste post zie je wel hoe men tot die rekenregel komt, ik had hem wel al eens gegeven:
 

Flisk schreef:

\((a+1)!=a!(a+1)\)

Vervang immers a door k+1 en je krijgt (k+2)!=(k+1)!(k+2).