sciencetalk

volgens mij: maar moet zijn:  
Weet iemand welke rekenregel ik over het hoofd zie?

De regel moet zijn:
   
 
Kinetische energie bevat de snelheid in het kwadraat.
 
Algemeen geldt:  
 
Dat kun je uitrekenen.
Kennelijk is (misschien kan iemand dit uitleggen, ik zie dit zo gauw niet):
   
 
Dan kom je op de het antwoord dat je geeft.

Anton_v_U schreef: De regel moet zijn:
 

\( E^{tot}=U+E^{kin}=\frac{k}{2}z^2+mgz+\frac{1}{2}m\ddot{z}^2=constant \)

 

Ik heb het even gecontroleerd,

ja natuurlijk, sorry. Er staat 1/2mv²

Probeer het stap voor stap aan te pakken.
 
Hier geldt trouwens dat  
Dit is eigenlijk de kettingregel voor de totale afgeleide van een functie in meerdere variabelen.
http://en.wikipedia.org/wiki/Total_derivative
 
P.S. gebruik ook je intuitie voor dit systeem van een verticaal opgehangen veer met puntmassa m eraan.
 
Een extra 'opgave' die je kan beschouwen is wat er gebeurd met de beweging als je deze tot lineaire orde (in t) beschouwd.

Ahja, dat helpt:
   
Dus (kettingregel):
   
ofwel:
   
dat levert:
   
 
intuïtief: eerste en derde term
 
Verandering van veerenergie:  per tijdseenheid: delen door  
 
Verandering van kinetische energie
   
per tijdseenheid: (etc)

Dit ziet er inderdaad wel mooi uit. Bedankt, hier kan ik iets mee

@Anton_v_U: De LaTeX-code voor het symbool voor partiële afgeleiden is \partial. Dit geeft het symbool .

Ik vermoed dat deze vergelijking een exacte oplossing kan geven.
  We kunnen de snelheid eenmaal buiten brengen
   
Hieruit kan meteen een oplossing gevonden worden waarbij maw met C een constante. Gewoon de rust positie dus.
 
Dan rest er nog de vergelijking  
Deze geeft mbv wolframalpha ook een exacte oplossing in termen van sinus en cosinus (zoals te verwachten voor dit systeem)
 
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B%28m*g%2Bk*z%29+%2B+m++%28d%5E2+z%2Fdt%5E2%29%5D+%3D+0
 
Hoe deze op te lossen valt weet ik niet meteen. Je kan wel controleren dat het een oplossing is.
 
Dit gaat misschien iets verder dan hetgeen je in de openingspost vroeg, maar ik denk dat het toch wel instructief is om te zien hoe de verdere analyse voor dit systeem gebeurd. (en ik verveelde me een beetje   )

En dat is natuurlijk voer voor een harmonische trilling (de formule van de veerconstante komt heel mooi terug in de sinus- en cosinusfuncties).

(Thx voor de Latex tip Mathfreak, ik ben 't nog een beetje aan het leren. Maar dat is een beetje flauwe smoes want ik hoor natuurlijk wel te weten hoe je partiële afgeleiden noteert)
 
Ik vermoed zomaar dat het over een ongedempt massa-veer systeem gaat dat in de buurt van het aardoppervlak verticaal beweegt. dE/dt=0 een noodzakelijke voorwaarde is om het gedrag van het systeem te beschrijven, maar niet voldoende. z=C is een oplossing van dE/dt=0 maar niet voor de beweging van een een massa veersysteem.
 
Daarnaast is het voor rust ook nog eens nodig dat dE/dz =0 ofwel de resultante kracht is nul zodat de versnelling nul is en de snelheid ook nul blijft. 

Anton_v_U schreef: Thx voor de Latex tip Mathfreak

Graag gedaan.

Anton_v_U schreef: Ik vermoed zomaar dat het over een ongedempt massa-veer systeem gaat dat in de buurt van het aardoppervlak verticaal beweegt. dE/dt=0 een noodzakelijke voorwaarde is om het gedrag van het systeem te beschrijven, maar niet voldoende. z=C is een oplossing van dE/dt=0 maar niet voor de beweging van een een massa veersysteem.
 
Daarnaast is het voor rust ook nog eens nodig dat dE/dz =0 ofwel de resultante kracht is nul zodat de versnelling nul is en de snelheid ook nul blijft. 

 
De oplossing die ik gaf neemt geen demping in rekening. Maar een echte oplossing zal door wrijvingseffecten(als verzamelnaam voor de verschillende dingen die gebeuren) toch gedempt moeten zijn.
 
Stel het even voor met een heel losse veer(lage k). Als je die ophangt en uitrekt zal deze beginnen met een harmonische beweging. Na een tijd zal de beweging toch echt stoppen. Vrij snel zelfs voor een losse veer.
 
Om het exact(er) te maken zullen we even een concreet systeem beschouwen.
Bevestig de veer op hoogte 1 m. De veer heeft rustlengte 10 cm.
Nu moeten we een goede oorsprong voor de coordinaten kiezen. Zoals het gewoonlijk gebeurt kiezen we de oorsprong in het ophangpunt en de positieve z-richting naar onderen toe.
Dan is de kracht in de veer gegeven door . Als de massa dan onder 0,9 m komt, zal er een kracht naar boven optreden in de veer. Dit wordt duidelijk uit het negatief zijn van de kracht.
Op de massa is de gravitationele kracht gelijk aan . Deze is positief door de keuze van de z-as.
 
Het systeem zal in rust zijn als deze 2 krachten tegengesteld zijn aan elkaar, hieruit kunnen we z bepalen.
  Voor m=1 kg en k = 10 N/m volgt dan dat z = 0.981-0.1 = 0.881 m.
Dit zou impliceren dat de rustpositie op slechts 0.119 m boven de grond zou zijn. Dit lijkt me goed mogelijk voor zo'n zwakke veer (1kg zou ongeveer 1 m uitrekking geven).
 
Ten slotte vraag ik me af wat je met je laatste voorwaarde(dE/dz = 0- bedoelt. Waaruit heb je die gevonden?
Deze geeft eigenlijk behoud van impuls als ik me niet vergis (E is hetzelfde als de hamiltoniaan, daaruit kunnen de canonische bewegingsvergelijkingen gehaald worden etc.)

JorisL schreef: Ten slotte vraag ik me af wat je met je laatste voorwaarde(dE/dz = 0- bedoelt. Waaruit heb je die gevonden?
Deze geeft eigenlijk behoud van impuls als ik me niet vergis (E is hetzelfde als de hamiltoniaan, daaruit kunnen de canonische bewegingsvergelijkingen gehaald worden etc.)

 
dE/dz is een kracht. Als een massa in rust is, is de resultante kracht nul.
Net als bijvoorbeeld: zwaartekracht: E = mgh en F = mg = dE/dh
 
Hamiltonianen ken ik nog niet (moet ik nog eens een keer induiken, die gaan wel over deze dingen heb ik begrepen) 
Het punt is dat als je op zoek bent naar een evenwichtstoestand en je stelt vanuit een bewegingsvergelijking de eis dat dE/dt = 0, de oplossing die je vindt te ruim is. Immers: als de snelheid nul is en de versnelling niet is er geen evenwicht maar dE/dt is wel nul.