sciencetalk

Normaliter is de snelheid/versnelling van een object in een vrije val natuurlijk niet afhankelijk van de massa.

Wat gebeurt er als de massa van het vallend object groter wordt dan de massa van de aarde?

Verandert dan de versnellingsconstante in de formule (g in dit geval) in de gravitatieconstante van het zwaardere vallende object en wordt dus eigenlijk de aarde het vallende object? Ik dacht te weten dat de aantrekkingskracht die de aarde op het object uitoefent gelijk is aan de kracht die waarmee het object de aarde aantrekt.

Beeld schreef: Normaliter is de snelheid/versnelling van een object in een vrije val natuurlijk niet afhankelijk van de massa.

Wat gebeurt er als de massa van het vallend object groter wordt dan de massa van de aarde?

 
Dat volgt uit de gravitatiewet van Newton en de tweede wet van Newton. In de buurt van de aarde zal het object een versnelling krijgen van GM_a/R_a² = 9,8 m/s².
 
Er is wel een ander puntje: de aarde zal versnellen richting het object en wel met een versnelling die groter is dan g.
 
 

Beeld schreef:  Ik dacht te weten dat de aantrekkingskracht die de aarde op het object uitoefent gelijk is aan de kracht die waarmee het object de aarde aantrekt.

Vasthouden die kennis! Dit is de derde wet van Newton.
Om te begrijpen wat er gebeurt kun je het beste redeneren met massatraagheid:
 
1) Alledaagse situatie: massa object is veel kleiner dan de massa van de aarde maar de kracht is gelijk tgv de derde wet. Dus het object versnelt en de versnelling van de aarde naar het object is verwaarloosbaar.
2) De situatie die je schetst: massa object is groter maar de kracht is gelijk tgv de derde wet. Dus aarde versnelt sneller naar het object toe dan het object naar de aarde
 
Laten we hopen dat zo'n botsing nog even uitblijft.

en wordt dus eigenlijk de aarde het vallende object?

 
Nee, beide objecten vallen.
 
Ze vallen naar hun gemeenschappelijke massamiddelpunt. Als beide objecten een gelijke massa hebben, ligt dit precies tussen de centra van beide objecten in.
Als een van de objecten een heel grote massa heeft t.o.v. het andere- dan blijven ze naar het massamiddelpunt vallen, alleen ligt dit middelpunt (bijvoorbeeld bij de appel en de Aarde) dan zeer dicht bij het centrum van de Aarde. De appel valt dan in het dagelijkse beeld naar de Aarde, maar in feite beweegt de Aarde ook een heel klein stukje richting de appel.
 
De appel en de Aarde vallen dus naar elkaar toe, en wat je ook in de onderlinge massaverhoudingen wijzigt, dat blijft zo.

Bedankt voor het duidelijke antwoord!

Andere vraag: De formule voor gravitatie versnelling is dus GMa/Ra? Betekent dit dat de gravitatieconstante van een object groter is wanneer deze een kleinere straal heeft tov van een object met normale straal en zelfde massa? En houdt dat dan in dat de gravitatie versnelling van een zwart gat onmogelijk te berekenen is? (dat heeft toch geen afmeting, dus straal 0?). GMzwartgat/0..

De valvesnelling is GMa/Ra² (ik was in mijn eerste post voor de edit ook het kwadraatje vergeten) Dat is in te zien met de gravitatiewet  en de tweede wet van Newton (F = m.a). Als dat niet duidelijk is, zeg het dan even dan post ik de afleiding.
 
Voor een zwart gat zit je op het goede spoor. Als de massa geconcentreerd wordt in een kleiner volume (kleinere R dus) dan wordt de gravitatie gigantisch => zwart gat.
 
De straal waarbinnen je een massa m moet samenpersen om een zwart gat te krijgen volgt uit de ontsnappingssnelheid. Als die gelijk is aan c dan heeft het object de Schwartzschild radius R_s.
 
De ontsnappingssnelheid kun je afleiden door de kinetische energie gelijk te stellen aan de potentiele energie in het oneindige en die is weer gelijk aan de arbeid van de gravitatiekracht als je een object verplaatst vanaf het oppervlak R naar het oneindige: je integreert de gravitatiekracht vanaf het oppervlak R tot het oneindige. Als je het gelijkstelt valt de massa weg. De oplossing voor R waarvoor de ontsnappingssnelheid gelijk is aan c is de genoemde R_s.
 
De betekenis van R_s van een object met massa m is de straal van de bol waarbinnen alle massa moet worden samengeperst om een zwart gat te worden.

Michel Uphoff schreef: Ze vallen naar hun gemeenschappelijke massamiddelpunt. Als beide objecten even zwaar zijn, ligt dit precies tussen de centra van beide objecten in.
Als een van de objecten een heel grote massa heeft t.o.v. het andere- dan blijven ze naar het massamiddelpunt vallen, alleen ligt dit middelpunt (bijvoorbeeld bij de appel en de Aarde) dan zeer dicht bij het centrum van de Aarde. De appel valt dan in het dagelijkse beeld naar de Aarde, maar in feite beweegt de Aarde ook een heel klein stukje richting de appel.

Ik zou gewoon zeggen dat ze naar elkaar toe vallen. Beide objecten oefenen immers een kracht uit op elkaar en versnellen dus allebei.

Een massamiddelpunt heeft hier weinig mee te maken, dat wordt enkel gebruikt in vereenvoudigingen (constant veld, kleine massa). We praten hier over objecten zo groot als de aarde die naar elkaar toe vallen.

Flisk schreef: Een massamiddelpunt heeft hier weinig mee te maken, dat wordt enkel gebruikt in vereenvoudigingen (constant veld, kleine massa). We praten hier over objecten zo groot als de aarde die naar elkaar toe vallen.

 
Naar elkaar toevallen lijkt me een correct beeld evenals naar het massamiddelpunt vallen.
 
Ze zullen op elkaar vallen in het massamiddelpunt. Zelfde idee als dubbelsterren die om een gemeenschappelijk massamiddelpunt draaien. Als je de twee objecten samen als één (stilstaand) systeem beschouwt, is de resultante kracht op het systeem nul en zal het massamiddelpunt dus niet kunnen versnellen en dus op z'n plek blijven.

Anton_v_U schreef: Ze zullen op elkaar vallen in het massamiddelpunt.

Ik heb nooit geleerd dat twee objecten die naar elkaar toe bewegen in een rechte lijn naar een gemeenschappelijk punt vallen. Ik vind daar ook niet direct een bron voor.

Objecten die om elkaar draaien, dat is een andere zaak.

Ik zou gewoon zeggen dat ze naar elkaar toe vallen.

 
Dat deed ik ook, maar voegde met het massamiddelpunt wat - naar mijn mening inzicht gevende - informatie toe.

Michel Uphoff schreef:  
Dat deed ik ook, maar voegde met het massamiddelpunt wat - naar mijn mening inzicht gevende - informatie toe.

Ik snap gewoon niet wat het massamiddelpunt ermee te maken heeft. Met massamiddelpunt bedoel je toch , waarbij de plaatsvector van dat massamiddelpunt is?

Flisk schreef: Ik heb nooit geleerd dat twee objecten die naar elkaar toe bewegen in een rechte lijn naar een gemeenschappelijk punt vallen. Ik vind daar ook niet direct een bron voor.

 

neem twee puntmassa's m1 en m2, m2 met een 2 x zo grote massa als m1, in een verder geheel lege en krachtenvrije ruimte
Zet ze op 300 km afstand van elkaar. Het gemeenschappelijk massamiddelpunt van dit systeem ligt dan op 100 km van m2, en op 200 km van m1. 
 
Ze oefenen een zwaartekracht F op elkaar uit. Die is voor beiden gelijk.
Laat ze los.
Volgens F=m·a  zal de versnelling van m2 de helft bedragen van de versnelling van m1 (t.o.v. een vast punt op de lijn tussen beide puntmassa's), want F is voor beide gelijk, dus als de massa 2 x zo groot is moet de versnelling wel 2 x zo klein zijn. 
 
Na verloop van tijd knallen beide puntmassa's op elkaar. 
Veronderstel even dat de kracht gelijk blijft, en de versnelling dus ook niet verandert. 
bewegingsvergelijking voor elke massa is  s(t)=½at² 
t is voor beide gelijk (duhh), t² dus ook, hieruit volgt dat in de tijd tussen loslaten en botsing de kleinere massa m1 een 2 x zo grote afstand zal afleggen als de grotere massa m2. 
Overigens óók als de kracht en dus die versnelling zoals in werkelijkheid bij zwaartekracht zal blijven toenemen naarmate ze elkaar naderen, alleen wordt dan de wiskunde een stukje ingewikkelder. (dan geldt bovenstaande redenering voor elk infinitesimaal stukje van de nadering en dus ook voor heel de nadering)
Ergo, de plaats van botsing wordt dat gezamenlijke massamiddelpunt. 
 
Misschien nog simpeler: er is een wet van behoud van impuls. Vóór het loslaten is de impuls 0 want de snelheid van beide puntmassa's is 0 . De totale impuls moet dus ook nul blijven ná loslaten. Dat kan alleen als de snelheid van de dubbele massa m2 maar half zo groot wordt als die van de kleinere massa m1. 
Met een halve snelheid leg je ook maar de halve afstand af. 
Ergo, de plaats van botsing wordt (ook weer) dat gezamenlijke massamiddelpunt. 
 
QED

Met massamiddelpunt bedoel je toch

 
m₁.r₁=m₂.r₂ zo simpel bedoel ik het. Dus een stokje (zonder massa) met twee massa's aan de uiteinden blijft in evenwicht op het massamiddelpunt.
   
Twee puntmassa's, aanvankelijk in in rust tov elkaar zullen in een rechte lijn naar elkaar bewegen en elkaar treffen op het massamiddelpunt (massacentrum, gemeenschappelijk zwaartepunt, barycentrum) als ze losgelaten worden.

Michel Uphoff schreef:  
m₁.r₁=m₂.r₂ zo simpel bedoel ik het.

Ok, dit komt op hetzelfde neer als Neem als immers de nulvector.

 

Jan van de Velde schreef: QED

Interessante eigenschap dat de objecten inderdaad botsen (indien puntmassa's) in het massamiddelpunt. Ik vind nog altijd de woordkeuze "vallen naar het massamiddelpunt" raar, maar dat ligt waarschijnlijk aan mij.

Flisk schreef:  Ik vind nog altijd de woordkeuze "vallen naar het massamiddelpunt" raar, maar dat ligt waarschijnlijk aan mij.

Hnmm, waarom? Beide objecten vallen inderdaad in die richting, zouden het puntmassa's zijn dan zouden ze daar botsen, en zou het om grotere objecten gaan die volkomen inelastisch botsen dan blijven we over met één object met zijn massamiddelpunt in dat voormalig gezamenlijk massamiddelpunt.  

Je hebt gelijk, maar bij mij wekt het de indruk dat er een wisselwerking is tussen de vallende objecten en het massamiddelpunt. Terwijl de wisselwerking zich voordoet tussen beide objecten (nl zwaartekracht) <= klinkt als muggenziften  . Het is een mooie eigenschap, dus ik snap wel waarom je het zo zou zeggen.

Ik vraag me af wat er gebeurt indien er meer dan twee objecten zijn.