sciencetalk

Beste mensen, ik loop vast bij de volgende vraag: We hebben een functie f: X->R^n, met X een topologische ruimte met een zekere topologie. R^n heeft gewoon de euclidische topologie, ofwel de verzameling van alle deelverzamelingen van R^n die gesloten zijn t.a.v. de euclidische metriek. De functie f is hier continu.
   
Dit is concreet wat ik bedoel met continu hier(dus geen epsilon-delta definitie, want wie weet is X niet metriseerbaar). Wat ik nu moet bewijzen is dat f continu is dan en slechts dan als (f1,f2,...,fn) continu zijn. fi is uiteraard een functie X->R, met in R de euclidische metriek. Het is me gelukt dit 1 kant op te bewijzen, namelijk dat als f1,f2,...,fn continu zijn f=(f1,f2,...,fn) dat ook is door gebruik te maken van eigenschappen van de topologie. Maar de andere kant op lukt het me maar niet.
 
Dit is iniedergeval een poging: Stel f is continu maar er is minstens 1 fi dat niet continu is, dan probeer ik op een tegenstrijdigheid te komen. Dan krijg ik dit: Stel fi is niet continu voor een zekere index van i'tjes I(deelverzameling van {1,2,...,n}) dan geldt dus het volgende:
  Stel nu dat V 1 zo'n element is van de topologie in R, er is dus een k zodanig dat het bovenstaande waar is voor V voor minstens 1 waarde k. Beschouw dan V^N = V X V X ... X V(n keer cartesisch product), dit is dan duidelijk een open verzameling in R^n en omdat f continu is geldt:
   
 We hebben nu dat fk(en eventueel andere deelfuncties) niet continu zijn. Ofterwijl in de doorsnee hierboven zit minstens 1 verzameling dat niet tot de topologie Tx behoort, maar de doorsnee van al die verzamelingen behoord wel tot de topologie Tx. Dit leidt echter niet tot een tegenstrijdigheid aangezien het niet zo is dat:
   
 Ik kan zo voorbeelden bedenken waarbij het bovenstaande simpelweg niet klopt. Maar dat betekent ook dat mijn bewijs uit het ongerijmde nergens toe gaat leiden. Ik zie ook niet hoe ik op een andere manier de primaire eigenschappen van verzamelingen in een topologie kan uitbuiten(eindige doorsneden behoren tot de topologie en (on)eindige verenigingen ook) om dit te bewijzen. Hopelijk kan iemand me hiermee helpen.

Wat weet je allemaal en wat mag je gebruiken? Ken je bijvoorbeeld de projectie-afbeelding? Weet je iets over de samenstelling van continue afbeeldingen?

Drieske schreef: Wat weet je allemaal en wat mag je gebruiken? Ken je bijvoorbeeld de projectie-afbeelding? Weet je iets over de samenstelling van continue afbeeldingen?

 Het enige dat ik weet is dat X een topologische ruimte is en f een functie van X->R^n. Ik mag, neem ik aan, alleen resultaten gebruiken die tot aan die vraag zijn behandeld. Omdat dit in hoofdstuk 2.2 voorkomt neem ik aan dat ik alle resultaten tot aan 2.2 mag gebruiken maar niet resultaten die later komen.
 
 Als het goed is zou ik het moeten kunnen bewijzen uit de definitie van topologie en de definitie van wat continue functies zijn, voor R^n of R mag ik gebruik maken van de metriek maar van X uiteraard niet(dat is een algemene topologische ruimte). Het is me hiermee ook gelukt de stelling 1 kant op te bewijzen, maar niet de andere kant op. Is het mogelijk dit resultaat te bewijzen a.d.h.v. de definitie van een topologie en de definitie van een continue functie?

Mja, de eenvoudigste manier (in mijn ogen) werkt toch wel met projecties. Als je die gezien hebt voor dat stukje, zou ik ze gewoon gebruiken . En normaal zal je ze wel gezien hebben. 
 
Moet het echt echt met opens: merk op: