Het volgende moet je eerst helemaal begrijpen, daarna heeft het pas zin om verder over de opgave na te denken:
- De kansdichtheid op het punt (1,1) bestaat niet (buiten het domein)
- De kansdichtheid op het punt: (0.9999..., 0.9999....) is 1/y = 1.
- y=0,5 is geen punt, het is een lijn. Op deze lijn is de kansdichtheid gedefinieerd voor x = <0,0.5> (dit is het deel van de lijn die binnen het domein ligt) en de kansdichtheid op dit lijnstuk is 1/y = 2.
Het algemene idee is:
- Het criterium voor (x,y) is een gebied in het x,y-vlak. Deze uitkomsten voldoen aan het criterium
- De kansdichtheidsfunctie f(x,y) is gedefinieerd op een domein, dat is een ander gebied in het x,y vlak. Deze uitkomsten zijn mogelijk.
- Alle mogelijke gebeurtenissen die aan het criterium voldoen, liggen in beide gebieden: de doorsnede.
- De kans dat een gebeurtenis aan het criterium voldoet is de integraal van f(x,y) over deze doorsnede.
- Als de doorsnede leeg is, dan is de gevraagde kans dus nul
- Als de doorsnede het gehele domein van f(x,y) beslaat, dan is de kans één want de integraal over het gehele domein van f(x,y) is per definitie 1 want het is een kansdichtheid.
Je uitwerking begint zo:
Teken een plaatje van
het domein van f(x,y) Dit is het
gebied dat voldoet aan de twee criteria:
0 < x < y. Dit wordt begrensd door de lijnen x=0 en x=y.
0 < y < 1. Begrensd door y=0 en y=1.
Teken het gebied waarvoor X+Y>1/2. Dit wordt natuurlijk begrensd door de lijn: x+y = 1/2
Geef dan het deel van het domein van f(x,y) dat alle uitkomsten bevat dat voldoet aan dit criterium (de doorsnede).
Dan heb je precies het gebied bepaald dat én in het domein van f zit én voldoet aan het criterium.
Bijgevolg is de gevraagde kans de dubbele integraal van f(x,y) over dit gebied.
Laat eerst een duidelijke tekening zien, dan kunnen we daarna nadenken over de integraal en de grenzen.
Eerder heeft dat nog geen zin.