1 van 1
Taylorreeks tan(x) rond x = 0
Geplaatst: wo 31 dec 2014, 18:18
door Robin4
Beste,
Ik heb problemen bij het ontwikkelen van tan(x) naar een taylorreeks. Ik schrijf
\(\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\)
als
\(\tan{x} \approx \frac{x-\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + ... }{1- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + ...}\)
met behulp van de taylorreeksen van sinx en cosx, maar zie niet in hoe ik dit als een mooie som moet schrijven.
Alvast bedankt,
Robin Dhaene
Re: Taylorreeks tan(x) rond x = 0
Geplaatst: wo 31 dec 2014, 19:15
door Safe
De deling uitvoeren ... , of:
Stel:
\(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=x+a_3x^3+a_5x^5+ ...\)
Waarom heeft de tan, in de reeksontwikkeling, oneven machten van x ...
Re: Taylorreeks tan(x) rond x = 0
Geplaatst: wo 31 dec 2014, 19:19
door Anton_v_U
Differentieren, Taylorreeks rond nul: f(x) = som k-de afgeleide in nul gedeeld door k!
Re: Taylorreeks tan(x) rond x = 0
Geplaatst: wo 31 dec 2014, 19:27
door Robin4
Safe schreef:
De deling uitvoeren ... , of:
Stel:
\(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=x+a_3x^3+a_5x^5+ ...\)
Waarom heeft de tan, in de reeksontwikkeling, oneven machten van x ...
Ik vermoed dat dit zo is omdat de tangens een oneven functie is. Ik herinner me nog vaag van een uitleg dat er inderdaad een deling uitgevoerd moet worden, maar dit werd door de assistent gedaan met een trucje, dat ik echter niet kon lezen.
Re: Taylorreeks tan(x) rond x = 0
Geplaatst: wo 31 dec 2014, 22:59
door Safe
Klopt.
Begin eens ...
Re: Taylorreeks tan(x) rond x = 0
Geplaatst: do 01 jan 2015, 13:13
door Robin4
Ik kan uiteraard gewoon afleiden, maar er is een benadering tot de zesde orde gevraagd, dus dit zal heel veel werk vergen. Een staartdeling lukt ook niet, want ik krijg een rest waar ik niks meer mee kan doen. Bestaat er geen manier om zowel de teller als de noemer te vermenigvuldigen met een toegvoegde, om zo een mooie veelterm te krijgen?
Re: Taylorreeks tan(x) rond x = 0
Geplaatst: vr 02 jan 2015, 13:01
door Safe
Je hebt:
\(\sin(x)=\cos(x)(x+a_3x^3+a_5x^5+a_7x^7 ...)\)
Je kent de reeksontwikkeling van zowel sin als cos ...
Kan je nu a3, a5 en a7 berekenen ...
Waarom moet a1=1 zijn?
Re: Taylorreeks tan(x) rond x = 0
Geplaatst: za 03 jan 2015, 15:17
door Robin4
Je hebt:
\(\sin(x)=\cos(x)(x+a_3x^3+a_5x^5+a_7x^7 ...)\)
Je kent de reeksontwikkeling van zowel sin als cos ...
Kan je nu a3, a5 en a7 berekenen ...
Waarom moet a1=1 zijn?
Uiteraard, bedankt voor de uitleg!
Deze coëfficiënt moet 1 zijn, omdat de eerste orde benadering van de tangens rond 0 gegeven wordt door x. (Tan'(0) = 1)
Nu moeten de coëfficiënten berekend worden door distributief uitwerken en de verkregen coëfficiënten gelijk te stellen aan de reeks ontwikkeling van sinx.
Re: Taylorreeks tan(x) rond x = 0
Geplaatst: za 03 jan 2015, 16:01
door Safe
Ok, ga je gang ...
Re: Taylorreeks tan(x) rond x = 0
Geplaatst: di 06 jan 2015, 10:00
door Robin4
Oeps, vergeten antwoorden...
We krijgen dus
\( x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} = (x+a_3x^3+a_5x^5+ ...)(1- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + ...) \)
Na uitwerking wordt dit dan:
a_3 = 1/3
a_5 = 2/15
Dus
\(\ tan x = x + \frac{1}{3}x^3+ \frac{2}{15}x^5-... \)
Bedankt voor de hulp!
Re: Taylorreeks tan(x) rond x = 0
Geplaatst: di 06 jan 2015, 11:22
door Safe
Prima!