sciencetalk

De quizmaster toont je twee deuren A en B. Achter beide deuren ligt een envelop met een geldbedrag. Er wordt gemeld dat in de ene envelop 2 maal zo veel zit dan in de andere. Jij mag een deur kiezen.

Dat doe je.

Dan krijg je van de quizmaster nog één keer de kans om van deur te wisselen.

Is dat verstandig of maakt dat niets uit?

Als de quizmaster je verder helemaal geen informatie geeft, dan maakt het natuurlijk niets uit. Of mis ik iets diepzinnigs?

Inderdaad, zonder aanvullende info blijft de kans op de meest waardevolle envelop 50%. Je tweede keuze is immers onafhankelijk van je eerste.

Stel dat achter de gekozen deur een envelop ligt met 1000 Euro.

De kans dat achter de andere deur een envelop ligt met 2000 Euro is 50%.

De kans dat achter de andere deur een envelop ligt met 500 Euro is ook 50%.

Dus ligt in de envelop achter de andere deur gemiddeld een bedrag van (2000 + 500)/2 = 1250 Euro.

Dus is het verstandig de andere deur te nemen.

Dus ligt in de envelop achter de andere deur gemiddeld een bedrag van (2000 + 500)/2 = 1250 Euro.

En wat is het gemiddelde bedrag achter de eerst gekozen deur?

Maar stel nou dat achter de niet-gekozen deur 1000 Euro ligt...

(M.a.w., ik ben nog niet overtuigd.)

Dit is een variatie op het drie-deuren probleem, echter dit probleem klopt niet.

En wat is het gemiddelde bedrag achter de eerst gekozen deur?

Dat weet je pas als je voor die deur gekozen hebt.

Dat bedrag 1250 Euro bevindt zich niet achter de andere deur. Het is een gemiddelde.

(M.a.w., ik ben nog niet overtuigd.)

Mijn bewijs vind ik toch heel overtuigend.

Dit is een variatie op het drie-deuren probleem, echter dit probleem klopt niet.

Hoezo dan niet?

Dat zei de dokter trouwens ook al: "Dat klopt niet", maar toen was het al te laat.

Jouw bewijs impliceert dat je weet wat er achter deur 1 ligt. Hetgeen niet uit de vraagstelling blijkt.

Als je dus niet weet wat er achter deur 1 ligt, ligt daar dus ook gemiddeld 1250 euro. Het wisselen van deur maakt dus niets uit.

Met de stelling van 3 deuren (zoals Wouter zegt) gaat jou redenatie wel op.

Jouw bewijs impliceert dat je weet wat er achter deur 1 ligt. Hetgeen niet uit de vraagstelling blijkt.

Dat weet ik inderdaad niet.

Dus, veronderstel dat er envelop met X Euro achter ligt.

Dan ligt er achter de andere deur een envelop met 2X Euro (50% kans)

of een envelop met X/2 Euro (50% kans).

Gemiddeld ligt er achter de andere deur (2X + X/2)/2 = 5X/4, dus meer dan achter de eerst gekozen deur.

Volgens dezelfde redenatie moet je gewoon bij je gekozen deur blijven:

Stel dat achter de niet-gekozen deur een envelop ligt met 1000 Euro.

De kans dat achter de gekozen deur een envelop ligt met 2000 Euro is 50%.

De kans dat achter de gekozen deur een envelop ligt met 500 Euro is ook 50%.

Dus ligt in de envelop achter de gekozen deur gemiddeld een bedrag van (2000 + 500)/2 = 1250 Euro.

Dus is het verstandig de gekozen deur te nemen.

1. Het grote verschil met het drie-deuren-probleem is dat je daar extra informatie krijgt doordat één van de overblijvende deuren weggestreept wordt.

2. Het slaat nergens op om de bedragen te middelen, één deur is gewoon de goede deur, de andere deur is de verkeerde deur.

PeterPan schreef:Dus, veronderstel dat er envelop met X Euro achter ligt.

Dan ligt er achter de andere deur een envelop met 2X Euro (50% kans)

of een envelop met X/2 Euro (50% kans).

Gemiddeld ligt er achter de andere deur (2X + X/2)/2 = 5X/4, dus meer dan achter de eerst gekozen deur.

Onzin. Er zijn twee mogelijke situaties:

1a. In de enveloppen zit X en 2X en je staat voor de X deur.

1b. In de enveloppen zit X en 2X en je staat voor de 2X deur.

2a. In de enveloppen zit X en X/2 en je staat voor de X deur.

2b. In de enveloppen zit X en X/2 en je staat voor de X/2 deur.

Je mag delen uit situatie 1 en 2 niet zomaar husselen (je hebt of te maken met een van de delen van situatie 1 of met een van de delen van situatie 2.)

Het slaat nergens op om de bedragen te middelen, één deur is gewoon de goede deur, de andere deur is de verkeerde deur.

Ik geef toe, mijn redenering klopt niet.

Maar waarom eigenlijk niet?

Inderdaad slaat het nergens op om de bedragen te middelen.

Maar waarom dan? Omdat de conclusie me niet bevalt is geen goed argument.

Maar om even mee te gaan in de beredenatie (stellen dat achter de gekozen deur een bedrag X ligt); als we nou verschillende variaties op dit probleem maken:

A. in de ene envelop zit 2 maal zo veel als in de andere (= bovenstaand)

B. in de ene envelop zit 10 Euro meer dan in de andere

C. in de ene envelop zit een geldbedrag, in de andere zit niets

Dat zou betekenen dat bij A het wél handig is om van deur te wisselen ((0.5X + 2X) / 2 = 1.25X), bij B maakt het geen drol uit ((X-10 + X+10) / 2 = X), en bij C moet je juist níet van deur wisselen ((X + 0) / 2 = 0.5X).

Dus of het verstandig is om van deur te wisselen hangt af van hoe de twee bedragen zich tot elkaar verhouden?!

Als je een deur gekozen hebt, en je krijgt geen extra informatie, dan ligt er dus achter de andere deur ofwel meer (50% kans), ofwel minder (ook 50% kans).