sciencetalk

Ik kan me niet voorstellen dat het volgende klopt, maar kan me niet bedenken waarom het niet zou kloppen:
 

gallo schreef: Aan de hand van die limiet is het kinderlijk eenvoudig aan te tonen dat er dan een bepaald getal bestaat vanaf waar het vermoeden van goldbach voor elk even nummer groter dan dat getal geldig is (d.w.z.: dat ieder even nummer groter dan dat getal precies tussen 2 priemgetallen ligt).

 

Th.B schreef: Nou, hoe zie je dat voor je dan? Ik ben benieuwd, zo'n lemma ken ik niet.

 
Voorkennis:

1a) de kans dat binnen een bepaald bereik een willekeurig gekozen getal een priemgetal is, is ongeveer gelijk aan 1/ln(x). Dit betekent, dat wanneer je rond de 100.000 een willekeurig getal pakt, dat de kans dat dat getal een priemgetal is dan ongeveer gelijk is aan 1/ln(100.000) = 1/9,51. Dit is ook bewezen: ww.youtube.com/watch?v=CEgJzZdbzHE

 
1b) Dit betekent dan ook dat, wanneer men eerst een getal pakt binnen het bereik, en vervolgens nog een (ander) getal pakt, dat de kans dat dit allebei priemgetallen zijn dan gelijk is aan 1/ln(x) maal 1/ln(x).
Een andere situatie: stel men heeft twee verschillende getallijnen IR. Op beide pakt men een getal binnen het genoemde bereik. De kans dat allebei de getallen een priemgetal zijn, is wederom gelijk aan: 1/ln(x) maal 1/ln(x). Dit is simpele kansberekening.

 
1c) doorgaans wordt de 1/ln(x) gebruikt om de kans op een priemgetal te vinden, dit gaat dus over de rekenkundige rij y = 1x. (1,2,3,4,5,6,enz). Dit is echter niet de enige rekenkundige rij waarvoor het geldig is, het is net zo goed geldig voor de rekenkundige rijen y=2x, y=3x, en y=4x enz. Wanneer je met stappen van 4 over de getallenlijn gaat, zal immers Legendre ook het juiste aantal getallen geven dat deelbaar is door (2), 3, 5, 7, 11, 13 enz. en daarmee ook het aantal getallen dat wel of niet deelbaar is door een ander getal. Er is dus geen wezenlijk verschil.
 
Redenering:

Bekijk nu de volgende rekenkundige rij:


de kans dat een getal binnen deze rij een priemgetal is valt exact te berekenen volgens legendre, en dus ook te benaderen via 1/ln(x)

Nu onthouden we deze informatie, en ‘spiegelen’ we de figuur om het getal 18.
 


Opnieuw valt de kans dat een getal binnen deze nieuwe rekenkundige rij een priemgetal is exact te berekenen volgens legendre, en dus ook te benaderen via 1/ln(x).

Wanneer we dit combineren met de informatie die we onthouden hebben, kunnen we dus zeggen dat “de kans dat een ‘specifieke locatie op de spiraal’ zowel voor als na het ‘spiegelen’ een priemgetal is gelijk is aan 1/ln(x) * 1/ln(x)
 
Afronding:  

Welnu, helaas is het zo dat 1/ln(x) slechts statistiek betreft, en dus niets zegt over de onderlinge verdeling van priemgetallen op een specifieke locatie of binnen een exact (relatief klein) bereik. Het zou nog steeds zo kunnen zijn dat wanneer je voor een aantal bij elkaarliggende locaties de controle uitvoert, dat er dan toch een heel ander antwoord uitkomt dan het aantal dat je gevonden hebt.
 
Echter, aan de hand hiervan blijkt in benadering wel het totale aantal priemgetallen vrij precies te bepalen. En dus ook in benadering het aantal combinaties. Aan de hand van kansberekening kan niets gezegd worden over indivduele gevallen, maar wel over het totale aantal. Zie nogmaals de voorbeelden uit 1, en zie het bewijs dat 1/ln(x) * x in benadering gelijk is aan het aantal priemgetallen.

dus zal het totale aantal locaties op de gehele spiraal dat zowel voor als na het draaien op een priemgetal ligt, oftewel waarvoor het vermoeden van goldbach geldt, ongeveer gelijk zijn aan:
 
1/ln(x) * 1/ln(x) * 0,25x
 
Ofzo.
 
Het moge duidelijk zijn dat dit getal, dat dus staat voor het aantal combinaties waarbij goldbach geldt, alleen maar groter wordt naarmate x groter wordt. Net zoals het aantal priemgetallen opzichzelf alleen maar groter wordt. Dit aantal is dan in benadering gelijk aan de bovengenoemde formule min een foutmarge die ook bij 1/ln(x) aanwezig is en die naar 0 nadert als x naar oneindig nadert.
 
Tot slot:

Ik besef dat bovenstaande zelfs al zou het kloppen dat het dan by far niet de meest efficiente of elegante manier is, waarschijnlijk zitten er ook sowieso nog wel wat wiskundige schoonheidsfoutjes in. Maar het is m te doen om de redenatie, ik wil het zo begrijpelijk en volgbaar mogelijk houden (en ben ook geen wiskundig genie) en vooral laten inzien WAAROM het zo is. Als het niet klopt kan iemand wellicht uitleggen waar de denkfout zit (of nog mooier: het kloppend maken  ). Maar zelfs al zou het kloppen dan zal een hardcore wiskundige het ongetwijfeld nog volop kunnen verbeteren of inkorten.*

 
Dus ik zou zeggen ga je gang. Verbeter het of schiet het af.

*Volgens mij zou je bijvoorbeeld ook het gedeelte voor 18 als bereik kunnen nemen en het gedeelte na 18 als bereik en (de integralen over) die 2 dan vermenigvuldigen. En daarna vermeniguvldigen met 0,5x. En zo zullen er nog wel meer manieren zijn.

Als ik je goed begrijp probeer je te argumenteren waarom de stelling waarschijnlijk waar is door met kansen te berekenen wat ongeveer het aantal mogelijke manieren zou moeten zijn waarop een even getal als som van 2 priemgetallen geschreven kan worden. Ervaring leert dat wat je probeert te doen wel een goede manier is om dit te kunnen inschatten. Echter dit is nog geen bewijs.

 

Concreet: voor je eerste rekenkundige rij kan je ongeveer zeggen hoeveel priemgetallen ze bevat. Maar niets garandeert dat van al die priemgetallen er ook maar één is waarvoor het 'corresponderende' getal in je 'gespiegelde' rekenkundige rij een priemgetal is. Er is voor elk corresponderend getal altijd maar een kans. Misschien is er een rare kronkel in de 'priemgetallenlogica' waardoor er ergens een zeer groot even getal is, waarvoor Goldbach nog niet met computers is uitgerekend, waarbij voor elk priemgetal in de eerste rekenkundige rij het corresponderende getal in de tweede rij net géén priemgetal is, en dat alle priemgetallen in de tweede rij over de andere getallen in die rij verdeeld zijn waardoor de verwachte kans op een priemgetal uiteindelijk wel klopt. Je zou zelfs kunnen omgekeerd argumenteren dat aangezien je oneindig veel getallen hebt, je misschien wel een redelijke kans hebt dat je ergens eens die 'pech' zal hebben, al wordt de 'kans op pech' kleiner wanneer de getallen groter worden. Interessant zou zijn of je ook argumenten zou kunnen geven waarom die 'kans op pech' wellicht onder een bepaalde waarde blijft.

 

Met computers zal wellicht wel aangetoond zijn dat de werkelijke aantallen manieren ongeveer overeenkomen met wat uit je redenering komt, door dit voor zeer veel getallen uit te rekenen. Maar dat is geen bewijs.

 

Om wat verder te gaan op je redenering: deze staat ook min of meer op de Engelstalige Wikipedia.

 

A very crude version of the heuristic probabilistic argument (for the strong form of the Goldbach conjecture) is as follows. The prime number theorem asserts that an integer m selected at random has roughly a chance of being prime. Thus if n is a large even integer and m is a number between 3 and n/2, then one might expect the probability of m and n − m simultaneously being prime to be . If one pursues this heuristic, one might expect the total number of ways to write a large even integer n as the sum of two odd primes to be roughly


Since this quantity goes to infinity as n increases, we expect that every large even integer has not just one representation as the sum of two primes, but in fact has very many such representations.​
 

 

Er staat ook verder bij waarom deze redenering eigenlijk nog niet helemaal klopt en wat de eigenlijke correcte redenering is. Ik denk dat jouw versie al een eerste stap in die richting probeert te zetten.

https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach's_conjecture#Heuristic_justification

 

Ook op de Nederlands​talige Wikipedia is er dit te vinden:
 

De meeste mathematici geloven dat het vermoeden waar is, meestal gebaseerd op statistische overwegingen van de waarschijnlijkheidsverdeling van de priemgetallen: heel grote even getallen kunnen meestal op zeer vele manieren als de som van 2 priemgetallen worden geschreven.
 

​​

Tot slot. De meeste mensen zullen wel geloven dat het vermoeden waar is. Alle andere 'grote onbewezen stellingen' in de getaltheorie zitten namelijk min of meer in hetzelfde schuitje. Denk maar aan het priemtweelingenvermoeden (algemener: k-tuplets), of het vermoeden dat Pi een normaal getal is, of het vermoeden van Collatz. Ook voor deze kan vrij eenvoudig geargumenteerd en aangevoeld worden dat ze wel zullen kloppen op basis van waarschijnlijkheid of statistische overwegingen. Computers hebben ook al zeer grote priemtweelingen gevonden. Het getal Pi is al intensief getest door computers op mogelijke afwijkingen van de normaliteit zonder dat die gevonden zijn. Maar er zijn geen bewijzen voor de stellingen.

Bedankt voor de reactie, het is me nog niet allemaal 100% duidelijk maar je links zijn erg interessant, hier kan ik mee verder.
 
Ik denk wel nog steeds je wel degelijk iets kunt zeggen over het niet bestaan van zo'n rare kronkel in de priemgetallen, juist omdat de locatie van priemgetal B niet onafhankelijk is van de locatie van priemgetal A. Dat zit zo'n beetje ingebakken in de definitie van priemgetallen. Maar, ik zie nu ook in (of neem maar even aan aangezien de bekende theorieën dat zeggen) dat de methode die ik gebruik dat verband tussen zo'n A en B blijkbaar nog niet goed genoeg benadrukt. De formule die je noemt zal inderdaad ook dezelfde formule zijn als die ik bedoel, wat betekent dat alleen de redenering erachter anders is en ik zie wel in dat het onwaarschijnlijk is dat een andere redenering bij dezelfde formule dan ineens wel klopt.
 
Dus, zoals je ziet, ik ben er nog niet helemaal uit, maar heb nu wel een houdvast om het beter te begrijpen, dus nogmaals bedankt!

 

 

gallo schreef: Ik denk wel nog steeds je wel degelijk iets kunt zeggen over het niet bestaan van zo'n rare kronkel in de priemgetallen, juist omdat de locatie van priemgetal B niet onafhankelijk is van de locatie van priemgetal A.

 
Je bedoelt 'niet afhankelijk / onafhankelijk'.
 
Er is geen bewijs dat omdat 'de locatie onafhankelijk is' dat je dan met zekerheid ergens een priemgetal B bij een van de priemgetallen A hebt. Je kan hiermee misschien argumenteren dat er geen reden te bedenken is voor een 'rare kronkel', maar dat is geen exact BEWIJS dat die er niet is (zie ook dat er nog steeds geen bewijs is dat het getal Pi niet normaal is). Over die onafhankelijkheid vermoed ik (heb het niet in detail bekeken) dat de 'geavanceerdere heuristiek' in de link op doorgaat.

Eigenlijk bedoelde ik wel 'niet onafhankelijk'.
 
Om maar een voorbeeldje te geven: je weet dat p₂ niet op een afstand 1 van p₁kan liggen (behalve als p₁ = 2)