sciencetalk

Ik ben wat roestig op het vlak van lineaire algebra (was er vroeger nochtans goed in). Hoe dan ook, in mijn handboek in het hoofdstuk over coördinaten transformaties willen ze aantonen dat het product van de transformatiematrix A en zijn transpose gelijk is aan de eenheidsvector. Ze gaan daarvoor uit van de algemene formule:

\(\vec{u}' = [ A ] \vec{u}\)

met

\(a_{ij} = \cos{\alpha_{ij}}\)

Ze gaan dan verder door te stellen dat ze deze formule 'per lijn' opschrijven, en bekomen dan:

\(\vec{e_i}' \cdot \vec{e_j}' = a_{ik} \vec{e_i} \cdot a_{jl} \vec{e_j} = a_{ik} a_{jl} \delta_{kl} = a_{ik} a_{jk}\)

of dus

\([1] = [ A ] [ A ]^T\)

met delta uiteraard de Kronecker delta. Ik snap de bovenstaande vergelijking volledig, alleen niet hoe ze er aan komen, beginnende van

\(\vec{u}' = [ A ] \vec{u}\)

en met enkel de vermelding 'per lijn'.

Dank

HosteDenis

Dit gaat over een coördinatentransformatie waarbij er overgegaan wordt op een andere orthonormale basis. Bij een orthonormale basis staan alle basisvectoren loodrecht op elkaar en hebben ze lengte 1. Het inproduct van een eenheidsvector met zichzelf is gelijk aan 1 en het inproduct van een vector met een vector loodrecht erop is gelijk aan 0.

Ik begreep het zo, dit kan natuurlijk afwijken van het bewijs uit jouw cursus:
Ik ga ervan uit dat

\(\vec{u}\)

een vector voorstelt t.o.v. de oude basis en

\(\vec{u}'\)

diezelfde vector voorstelt t.o.v. de nieuwe basis. Voor willekeurige coördinatentransformatie geldt

\(\vec{u}=A^{-1}\vec{u}'\)

, of dus

\(A\vec{u}=\vec{u}'\)

. De kolommen van A^-1 zijn dan de basisvectoren van de nieuwe basis t.o.v. van de oude basis (snap je waarom? Anders leg ik het uit, deze stap is belangrijk om het plaatje te begrijpen). Vermenigvuldig je nu

\(A^{-1}\)

met

\((A^{-1})^T\)

dan krijg je de eenheidsmatrix, op de hoofdiagonaal krijg je immers de inproducten van eenheidsvectoren met zichzelf en op de andere plaatsen krijg je inproducten van loodrechte vectoren. De getransponeerde van A^-1 is dus de inverse ervan. M.a.w.

\((A^{-1})^T=(A^{-1})^{-1}=A\)

, transponeer nu die gelijkheid en je krijgt

\(A^{-1}=A^T\)

.

in mijn handboek in het hoofdstuk over coördinaten transformaties willen ze aantonen dat het product van de transformatiematrix A en zijn transpose gelijk is aan de eenheidsvector.

Je bedoelt waarschijnlijk de eenheidsmatrix.

sciencetalk

Transformatiematrix

Transformatiematrix

Re: Transformatiematrix