sciencetalk

De appel  en de boom
Stel, je bevind je bij een appelboom op de evenaar. Een appel valt schijnbaar loodrecht uit de boom. Tijdens de vrije val van de appel, draait de aarde om haar as. Tegenover een punt in absolute stilstand, legt de aarde een afstand van 0,4638495 km per seconde af. De appel volgt deze beweging mee, en lijkt volgens jou loodrecht te vallen, immers jij maakt  deel van het referentiekader  en dat  draait mee. Als je appel op de Noordpool valt van een vergelijkbare appelboom en hoogte, legt de aarde 0 km per seconde af, en de appel dus ook.
Vraag:  legt die appel op de Noordpool  minder afstand af dan de appel op de evenaar? t

Gezien vanaf de Aarde, ja.

De afgelegde weg van de top van de boom tot de bodem is op de evenaar geen rechte lijn maar een Keplerbaan.

De appel zal bij de evenaar niet pal tegen de stam aan op de grond komen, maar een heel klein stukje (bij een boom van 100 meter hoog slechts 22 mm) naar het oosten. 

 

Het exacte antwoord is overigens nogal complex, en er zijn twee keer lange topics met veel wiskunde aan besteed.

Zie hier en hier

De appel beweegt mee met de boom. De beginpositie is hoger dan het aardoppervlak en dus gaat de appel iets sneller in horizontale richting dan de grond. Hierdoor komt de appel, zoals michel al zegt, iets meer naar het oosten op de grond dan wanneer de Aarde niet zou draaien. Het verschil is wel heel erg klein.

Het is dus helemaal niet zo dat de Aarde onder de appel heen draait, integendeel, de appel landt verder in oostelijke richting omdat die een hogere horizontale snelheid heeft.

@ Flisk

De appel beweegt mee met de boom

Krijgt de appel dan snelheid mee  van de boom en behoudt hij die een tijdje als hij in vrije val is? Als ik me niet vergis is dit een van de problemen bij klassieke bommen. De bommen vallen niet loodrecht op het doel, maar behouden nog ,een tijdje de snelheid van het vliegtuig. Daarom gebruikt men nu "slimme bommen" die bestuurd kunnen worden.

Het is dus helemaal niet zo dat de Aarde onder de appel heen draait

Inderdaad, de hele rimram lijkt mee te draaien, de aarde, de boom, de waarnemer en de appel in vrije val,  toch als het een relatief geringe hoogte betreft, (zoals een appel die uit een boom valt).

de appel landt verder in oostelijke richting omdat die een hogere horizontale snelheid heeft.

Met het geringe verschil in zwaartekracht door de verschillende hoogte en luchtweerstand is in dit voorbeeld geen rekening gehouden, wel met het immens grote verschil (bijna een halve kilometer per seconde) die de aarde aflegt rond haar as.. Het is dus een andere rekening dan de items waar Michel naar verwees. De kernvragen zijn: krijgt een appel in vrije val dan snelheid mee, hoe en waarom? En/of heeft het iets te maken met het referentiekader?

Hier twee animaties van het principe. Vanwege de schaal heb ik de boom 3000 km hoog gemaakt. 
De eerste animatie is de baan van de vallende kogel (k), gezien vanuit een niet met de Aarde mee roterende positie hoog boven de noordpool.
  Een mooie Keplerbaan met het massamiddelpunt van de Aarde in een brandpunt.
 
Hetzelfde, maar nu gezien vanaf het oppervlak van de Aarde, we roteren dus mee met Aarde en boom.
   
Luchtweerstand is in de simulatie niet meegenomen, maar wel het verschil in gravitatie a.g.v. een variërende hoogte van de kogel k. Omdat de vereenvoudigde formule in de links waar ik naar verwees geen rekening houdt met de gravitatieverschillen op variërende hoogte, noch met de kromming van het Aardoppervlak zijn er dus afwijkingen bij zo'n enorme hoogte. De formule 2/3 * valduur * 2π * hoogteverschil komt uit op 159 km. Gemeten in het model is het 144 km, zo'n 10% verschil.
 
Maar als de hoogte niet zo groot is, worden het gravitatieverschil en de kromming van de Aarde minder belangrijk. Bij een valhoogte van 100 km wordt 699 meter verschil uitgerekend, en 693 meter gemeten, ruwweg slechts 1% verschil. Bij hoogten lager dan 10 km is het verschil tussen de formule en het model volledig te verwaarlozen, en bij 100 meter hoogte komt er zoals gezegd slechts 22 mm uitrollen.
 
De aanvankelijk horizontale snelheid die de appel door de boom is meegegeven wijzigt voortdurend van richting en grootte, een Keplerbaan dus, net als bij een vliegtuigbom het geval is. Zie de tweede wet van Kepler hier in animatie:
 

cock schreef: De kernvragen zijn: krijgt een appel in vrije val dan snelheid mee, hoe en waarom?

 
De appel heeft die snelheid ook al als hij nog aan de boom hangt. Hij krijgt 'm dus niet pas op het moment dat hij gaat vallen. De boom heeft uiteraard op diezelfde hoogte ook die snelheid. Daarom blijven ze ten opzichte van elkaar netjes op hun plek.

Merk op dat hoe hoger de appel hangt, hoe groter zijn horizontale snelheid is. De appel legt namelijk in dezelfde tijd (1 dag) een groter rondje af. Op het moment dat de appel begint te vallen, verandert alleen zijn snelheid in radiële richting. Dat is nl. de enige richting waarin er een kracht werkt, nl. de zwaartekracht. In de horizontale richting werkt er geen kracht, en dus blijft de horizontale snelheid gelijk. 
 
Hoe dichter de appel dus bij de aarde komt, hoe sneller hij van de boom af beweegt. Dat kun je ook goed zien in het 2e plaatje van Michel.

Dank voor de uitleg Michel,
Uit uw illustraties meen ik te mogen besluiten dat het een ballistisch verschil uitmaakt of men een klassieke bom aan de Noordpool laat vallen, dan aan de evenaar. Maar een boom is geen 3000 meter hoog.
Mag ik uit de illustratie besluiten dat a) de appel uit het voorbeeld een langere weg aflegt aan de Noordpool dan  aan de evenaar. b) dat de appel aan de Noordpool  er minder lang over doet om te vallen aan de Noordpool dan aan de evenaar of, indien dit niet het geval is, dat de Noordpoolappel met een grotere snelheid valt dan zijn exotisch broertje. Dit laatste, er rekening mee houdende dat de Noordpoolappel  enkel de valafstand aflegt, en de evenaarappel de afstand van  de aarde mee aflegt, voor hij naast de boom landt.  Geen van beide a), noch b) lijkt mij realistisch en intuïtief.  Heeft het iets te maken met de ruimtetijd die meedraait met het gebeuren? Maar een vast punt op het aardoppervlak legt wel bijna een halve kilometer af per seconde tijdens de omwenteling rond zijn as, en de appel (en de boom) doen dit ook.
Of is het de oplossing inderdaad de Kepplerbaan, die als ik me niet vergis, meer gebaseerd is op de omtrek van de aarde. Men moet inderdaad de diameter van de aarde flink vergroten, om een significant verschil in omtrek te hebben, en de hoogte van de boom zal niet veel verschil maken, tenzij hij 3000 meter hoog is.
 
@ Emveedee

“De appel heeft die snelheid ook al als hij nog aan de boom hangt. Hij krijgt 'm dus niet pas op het moment dat hij gaat vallen.”

Juist, maar de appel behoudt die snelheid ook als hij in vrije val is. Dat maakt het nu net interessant, als de appel van de boom valt behoudt hij blijkbaar nog een tijdje dezelfde baan als toen hij aan de boom hing. Hoewel hij in vrije val is draait hij net als de aarde mee, en valt dus, vanuit het gezichtspunt van een niet meedraaiende waarnemer,  niet loodrecht, maar wel heel dicht bij de boom die deze waarnemer ook ziet draaien.

Mag ik uit de illustratie besluiten dat a) de appel uit het voorbeeld een langere weg aflegt aan de Noordpool dan  aan de evenaar.

 
Nee, de appel zal bij de pool loodrecht naar beneden vallen, terwijl hij bij de evenaar een zwieper had gekregen van de boom en dan een Keplerbaan (zoals getoond) zal volgen. De laatste weg is natuurlijk langer (nog even los van de minieme kromming van de Aarde die de weg nog wat verlengt).
 

dat de appel aan de Noordpool  er minder lang over doet om te vallen aan de Noordpool dan aan de evenaar 

 
Als we uitgaan van de Aarde als een perfect ronde homogene bol en zeer nauwkeurig gaan meten, is dat zo. Laten we de appel bij de evenaar van 100 km hoogte van de boom vallen dan duurt de val ruwweg 144 seconden, en aan de pool 143 seconden. Bij de meeste metingen op kleine schaal (de standaard natuurkunde valproeven enzo), wordt het minieme verschil verwaarloosd, ook al omdat de luchtweerstand een heel veel grotere rol speelt.
 

Heeft het iets te maken met de ruimtetijd die meedraait met het gebeuren?

 
Nee, daar heeft het helemaal niets mee te maken. De eventuele verschillen a.g.v. de relativiteit zijn zo extreem klein dat ze volstrekt niet ter zake doen bij dit voorbeeld.
 

Of is het de oplossing inderdaad de Keplerbaan

 
Klopt. Als het Aardoppervlak niet in de weg zat, bijvoorbeeld door alle massa van de Aarde te stoppen in een punt in het centrum, dan zou je zien dat de appel vanaf de pool loodrecht naar beneden op dat punt knalt, terwijl de appel aan de evenaar er door zijn aanvankelijke horizontale snelheid een langgerekte elliptische baan omheen zou draaien. Maar ook dit klopt niet helemaal, omdat je de Aarde allen mag vervangen door een punt met gelijke massa als het voorwerp zich buiten de Aardbol bevindt. Binnen de Aardbol zou je de massa telkens aan moeten passen.

@ Michel

Nee, de appel zal bij de pool loodrecht naar beneden vallen, terwijl hij bij de evenaar een zwieper had gekregen van de boom.

Oeps, ik bedoelde in het citaat dat u aanhaalde uiteraard dat de appel aan de pool een kortere baan zal afleggen dan de appel aan de evenaar.
Wat verder schrijft is logisch en wiskundig onderbouwd, maar toch heb ik een probleem, en ik zal mijn best doen dit wiskundig uit te leggen:
Stel een appel hangt aan een boom op de evenaar. De plaats waar de boom staat noemen we punt a. De appel  hangt op een hoogte h, waarbij hij er één seconde over zal doen om op de grond te vallen. We bepalen op de plaats waar de appel hangt een punt h’, dat niet meebeweegt met de rotatie van de aarde. Punt h’ is dus in absolute stilstand ten overstaan van de draaiende aarde.  Tijdens de val van de appel draait de aarde om haar as, en legt punt a in die tijd ten overstaan van de nieuwe positie a’ een afstand van 0,4638495 km af. Aangezien het cirkelsegment zo klein is ten overstaan van de aardomtrek kunnen we lijn a naar de nieuwe positie a’ als een recht lijnstuk beschouwen. Dit lijstuk vormt de basis  van een  driehoek.  Het lijnstuk van a (de oorspronkelijke positie van de boom) naar h’ beschouwen we als een rechthoekzijde op die basis. Het lijnstuk h’ naar a’ (we veronderstellen dat de appel op een verwaarloosbare afstand van de nieuwe positie van de boom valt)  is dan de hypotenusa van de gevormde driehoek, en die hypotenusa beschrijft de baan van de appel op die seconde vrije val. De afstand die de appel aan de evenaar aflegt is dan te berekenen met het ezelsbrugje. Het resultaat van die berekening geeft (op geringe hoogte van de appel als hij nog aan de boom hangt) een veel langere baanafstand van de vallende appel af,  dan die bekomen met de Keplerberekening.
Welke fout zit in de ezelsbrugredenering? Ik blijf er maar over piekeren.

Het lijnstuk h’ naar a’
..
Het resultaat van die berekening geeft (op geringe hoogte van de appel als hij nog aan de boom hangt) een veel langere baanafstand van de vallende appel af,  dan die bekomen met de Keplerberekening.

 
Daar maak je m.i. een fout. Hier het laatste plaatje van de simulatie van enkele berichten terug, met daarin de door jou aangegeven lijn in het groen. De verticale stippellijn is de oorspronkelijke positie van de toren, en de schuine zwarte lijn de toren op het moment dat de kogel de bodem raakt. De genoemde formule rekent de afstand tussen appel en boom uit op het moment dat hij de grond raakt. Dat is natuurlijk een veel geringer afstand dan de afstand die horizontaal is afgelegd vanuit een frame waarin de Aarde roteert.
   
Waarschijnlijk berekende jij de basis van die driehoek op basis van die 464 meter per seconde, maar niet alleen de appel valt en draait om het massacentrum, de toren draait mee. Dat is in de animatie mooi te zien. De basis van die driehoek, gezien vanaf het frame van de toren is dus heel veel kleiner, zoals je in de tweede animatie goed kan zien.

Hierbij een excel file die toelaat de afwijking te meten aan de voet van een toren waarvan men perfect langs de rand bv een metalen kogel laat vallen
Men kan de hoogte en de breedtegraad van de waarneming zelf instellen
 

Een paar opmerkingen:
Voor grotere hoogten kan je niet met een vaste waarde van g werken, maar moet je de gravitatiewet van Newton toepassen.
Een steen die van een toren valt die niet op de evenaar staat, heeft een afwijkend pad. Tussen evenaar en polen treden Corioliseffecten op die de steen ook noordelijker of zuidelijker laten vallen.

Waarschijnlijk berekende jij de basis van die driehoek op basis van die 464 meter per seconde, maar niet alleen de appel valt en draait om het massacentrum, de toren draait mee. (Michel).

De appel valt natuurlijk niet ver van de spreekwoordelijke boom (noch aan de Noordpool, noch aan de evenaar, alhoewel daar een fractie verder), zoals ten overvloede empirisch is waar te nemen, en daar heb ik geen formule voor nodig Rik (maar toch interessant die file, dank u).
 Maar toch, ik mag dan koppig wezen, legt de appel aan de evenaar (in theorie), de baan af van de hypothenusa, dit uitgaande van vast punt h’ (de oude positie van de boom) en het ezelsbrugje. Maakt u er eens een tekeningetje van (ik ben helaas niet computer geschoold in tekeningetjes en kan dat hier niet doen, in mijn jeugd bestonden er nog geen PC's). De appel draait, als hij  in vrije val  is mee met de boom en de aarde, hij legt dus in theorie, een afstand af zoals beschreven door de hypothenusa. Dit is de hoogte op de positie in de boom als die boom op zijn uitgangspositie staat (h’), en de nieuwe positie een seconde later aan de voet van de boom nadat   die boom 464 meter afgelegd heeft naar zijn nieuwe positie, een seconde later. Toch is er geen noemenswaardig verschil tussen de valtijd van een appel aan de evenaar, en die aan de Noordpool, maar de appel aan de evenaar legt (in die theorie) een véél langere afstand af en zou er dus veel langer moeten over doen..  
Waarom vallen ze (ongeveer) op ongeveer hetzelfde ogenblik? Het is toch niet zo dat de waarneming de valtijd beïnvloedt (dat laatste is een grapje) of dat de draaiing van de aarde ook de valtijd beïnvloedt?
PS. Bovenstaande tekst maakte ik voor uw laatste post. Misschien is dit Corioluseffect inderdaad mede de schuldige, ik ga me er eens in verdiepen.

maar de appel aan de evenaar legt (in die theorie) een véél langere afstand af en zou er dus veel langer moeten over doen.

 

We moeten de snelheid van de appel ontbinden in twee componenten, de verticale- en de horizontale-. Laten we de zaak even vereenvoudigen tot het standaard natuurkundeproefje: We houden geen rekening met de kromming of de rotatie van de Aarde, en niet met de luchtweerstand, en ook niet met de variatie van de versnelling vanwege de hoogte.

 

Van 10 meter hoogte laat ik een blauwe kogel los, die krijgt dus alleen een toenemende verticale snelheid.

Van 10 meter hoogte schiet ik een kogel exact horizontaal met 20 m/s weg, die krijgt dus ook een toenemende verticale snelheid en behoudt zijn horizontale aanvangssnelheid.

 

Het is duidelijk dat de totale snelheid van blauw alleen bepaald wordt door de zwaartekracht, terwijl die van rood een optelsom wordt van de zwaartekracht en de aanvangssnelheid. Rood legt een duidelijk grotere afstand af, maar heeft ook een grotere snelheid.

 

Welke kogel raakt nu het eerst de grond? Als je even doordenkt, moet de enige conclusie zijn: tegelijk. 
 

Alleen de versnelling van de zwaartekracht is van invloed op de verticale component, en die is voor beide kogels hetzelfde. Zie je in dat dit volstrekt vergelijkbaar is met een appel die op de noordpool naar beneden valt (blauw), en een op de evenaar (rood)? De appel hoog aan de boom op de evenaar heeft immers door de grotere omtreksnelheid een wat grotere horizontale component dan de voet van de boom heeft. 

 

Dus: de afstand die rood moet afleggen is inderdaad groter, maar zijn snelheid ook. Bezie je alleen de verticale component, dan is er geen snelheidsverschil tussen rood en blauw.

We houden geen rekening met de kromming of de rotatie van de Aarde, en niet met de luchtweerstand,

Als we nu eens wel  rekening houden met die rotatie Michel, dan komen we een heel andere rekening uit.  Als we een blauwe kogel loodrecht aan de evenaar laten vallen (en dus niet schieten) en een andere aan de Noordpool, dan legt de blauwe kogel een veel langere afstand af, want hij draait mee met de aarde, maar lijkt toch even lang en loodrecht te vallen, hoewel hij een veel langere weg aflegt.
Onlangs hoorde ik op internet een imam op basis van de koran verklaren dat de wereld stilstaat (dus niet rond zijn as draait). Zijn bewijs was, dat een vliegtuig die tegen de rotatie van de aarde invliegt, met draaiende motoren toch in een bepaalde richting moet verplaatsen  om zijn bestemming te bereiken. Indien het vliegtuig zou stilstaan zou het door de rotatie van de aarde toch zijn bestemming bereiken,  was zijn redenering (en dit aan 464 m per seconde dacht ik).
Die man heeft natuurlijk bewezen ongelijk, maar waar ligt zijn fout? Indien het vliegtuig zijn motoren niet zou laten draaien, dan zou het onverbiddelijk naar de aarde tuimelen, onder invloed van de zwaartekracht, is een logisch antwoord.
Maar toch blijft er die zaak van de rotatie van de aarde.  Gaat het vliegtuig dan ook tegen de rotatie van de aarde in, en dienen de motoren enkel als verzet tegen  de zin (richting) van de zwaartekracht in, of is er sprake van een effectieve verplaatsing van dit vliegtuig?  Sorry als ik dom lijk, maar ik blijf erover piekeren. Een relaissateliet die boven eenzelfde geografische plaats boven de aarde zweeft, moet zich ook met de rotatie van de aarde mee verplaatsen dacht ik, dus de rotatie speelt een rol.