sciencetalk

Hallo,
 
Voor mijn afstudeerproject ben ik een systeem aan het ontwikkelen waarbij verdiepingen op meerdere hoogtes kunnen worden ingesteld. Ik heb gekozen voor een bekend draagsysteem die vaak in huis, tuin en keuken toepassingen wordt gebruikt om planken aan de muur te bevestigen (zie onderstaande afbeelding). Nu wil ik de doorbuiging berekenen op het uiteinde van deze stalen ligger. 
       
De dikte van de drager is 6mm. Er is sprake van een gelijkmatig verdeelde belasting van 500 N over de gehele lengte van de ligger (deze is 650 mm). Dit is dus gelijk aan (500/650≈) 0,769 N/mm. Omdat het lastig is met de gaten en de afronding, wilde ik de drager benaderen als een drager zoals deze op onderstaande afbeelding te zien is. (hoogte links=20mm, hoogte rechts=55mm, lengte=650mm)
   
Zelf dacht ik dat ik de doorbuiging kon berekenen door de ligger te benaderen als een aan één kant ingeklemde balk met een gelijkmatig verdeelde belasting. 
Dus met behulp van onderstaande formule:
 
 
y = (q*L^4) / (8E*I)
 
Waarbij de letters staan voor:
y             doorbuiging (mm)
q             gelijkmatig verdeelde belasting (N/mm)
L              lengte van de ligger (mm)
E             elasticiteitsmodulus staal (MPa=N/mm²)
I              traagheidsmoment (mm⁴)
Maar omdat de ligger vanaf het vooraanzicht bekeken (het xy-vlak in de eerste afbeelding) geen constante hoogte heeft, kan ik de I waarde niet berekenen. Weet iemand met behulp van welke methode ik de doorbuiging van de genoemde ligger kan berekenen?
 
Alvast bedankt!

Opdelen in verschillende gedeeltes met steeds een gelijke doorsnede, en behandelen als een ligger met variabel traagheidsmoment.
Hier gaat het zijdelings uitknikken doorslaggevend zijn...

Aanvullend op het commentaar van king nero: ook de stalen kolom is niet volkomen star waardoor er een vervorming die op deze lijkt op kan treden.
   
Dat kan bij ongelukkige dimensionering en bevestiging een belangrijker bijdrage leveren aan de totale doorbuiging dan die van de ligger zelf. Je zal ook daarvoor een (m.i. vrij complexe) berekening voor die verticale kolom of wand moeten maken.

king nero schreef: Opdelen in verschillende gedeeltes met steeds een gelijke doorsnede, en behandelen als een ligger met variabel traagheidsmoment.
Hier gaat het zijdelings uitknikken doorslaggevend zijn...

Omdat het een q-last is, en het profiel lineair verloopt (excl gaten) is dit eventueel ook nog wel analytisch te doen. Door meermaals te integreren vanaf de belasting, naar de dwarskracht, naar het moment, delen door EI (is in dit geval ook een functie), naar kromming, en tenslotte de doorbuiging.
 
Meer een exercitie omdat het kan, dan omdat het moet, want met een vaste doorsnede heb je een schatting, en daarna stop je het toch in een raamwerkprogramma lijkt me.

Bedankt voor jullie reacties! 
 
De verticale kolom laat ik uit mijn berekening, het gaat alleen om het controleren van de doorbuiging van de ligger d.m.v. een berekening met de hand. Dit is een bevestiging op de sterkteanalyse die ik met Autodesk Inventor heb gedaan. De complexe doorbuiging (met verticale kolom) zal ik inderdaad met een raamwerkprogramma of met Inventor uitvoeren.
 
Met de tip van CoenCo heb ik een formule gevonden waarbij de uitkomst op precies hetzelfde uitkomt als wat Inventor zegt. 
Ik ben uitgegaan van een lineair verlopend profiel die eindigt in een punt (hoogte = 0).
   
Voor deze ligger heb ik een formule voor het interne moment en het traagheidsmoment opgesteld.
Door middel van tweemaal integreren van de formule van M/I, en vervolgens te delen door E, heb ik onderstaande formule voor de doorbuiging in punt A gevonden:  
 

Zou je de volledige uitwerking met ons willen delen? Desnoods een scan van je handberek..

In de bijlage is de uitwerking te zien

Ik ben erachter gekomen dat mijn berekening niet voor alle waardes klopt. Het was waarschijnlijk toevallig dat ik bij mijn waardes op precies het goede antwoord uitkwam. Ziet iemand misschien de fout?

De differentiaalvergelijking: ((EI2 - EI1) * x/l + EI1) * w(x)'''' = q;
 
Randvoorwaarden: w(0) = 0, w'(0) = 0, w''(l) = 0, w'''(l) = 0
 
=> w(x).
 
w(max;l) = 3.44 mm.
 
 
q = 0.5 kN/m, EI1 = 2.1 * 10^8 * 1/12 * 0.006 * 0.055^3, EI2 = 2.1 * 10^8 * 1/12 * 0.006 * 0.020^3, l = 0.65 m.
 
 
Controle: (q * l^4 / (8 * EI)):
 
 indien strip 6 * 55 over de gehele lengte: w(l) = 0.63 mm
 indien strip 6 * 20 over de gehele lengte: w(l) = 13.28 mm
 indien strip 6 * (1/2 * (55 + 20)) over de gehele lengte: w(l) = 2.01 mm