sciencetalk

Hi all,

 

Wie weet het antwoord op de volgende vraag?:

 

Gegeven is de functie: f (x) = ½ . x . √ 5-x²

 

Toon aan dat geldt: f '(x) = 5-2x² / 2 √ 5-2^x

 
Bij voorbaat dank!

Dat zal niet kloppen, denk ik? Hoe komt die laatste x als machtscomponent, of is dat een typefout?
Misschien kun de de opgave met behulp van Latex typen, en anders een foto of screenshot uploaden?

Ik snap de gehele opdracht niet. 
 
Bij voorbaat dank.
 

Wat snap je er niet aan?

Ik kom niet op de antwoorden uit. Ik zou graag willen weten hoe ik op de antwoorden kom. 

Antwoord bij B is: =√ 5/2 ∨ x=−√ 5/2

Ah, okee. Bedankt voor het oploaden, dat helpt!
Beginnen we met de dingen die je niet eenvoudig vindt.

1. Stel nu dat a(x)=5-x², kun je daarvan de afgeleide a'(x) bepalen?
2. Stel dat dat lukt, en stel verder dat b(a)=a^½, kun je daarvan de afgeleide b'(a) bepalen?

1. Yes, afgeleide is a'(x) = 2x
2. Ik denk: b'(x) = ½(5-x²)^-½

Bedenk dat Zie je nu kans om daarmee met behulp van de kettingregel de afgeleide hiervan te vinden?

Bij a) de afgeleide a'(x) is niet 2x maar - 2x

Bij b) wat er staat is correct, maar er ontbreekt nog een stukje. Denk hierbij aan de kettingregel.

1) a(x)=5-x² -> a'(x)=-2x
 
2) b(a)=a^½  -> b'(a)=½a^-½

Stel dat de opgave was: g(x)= (5-x²)^½,
en er geldt dat a(x)=5-x²
en verder geldt dat b(a)=a^½,
dan had je g(x) ook kunnen schijven als  g(x)=b(a(x))
 
Nu is g'(x) = b'(a) · a'(x)
Dat heet de kettingregel.
Je kunt het nu gewoon invullen:
 
g'(x)=½a^-½ · (-2x)
g'(x)=½(5-x²)^-½ · (-2x)
 
Kun je het tot zo ver volgen?

Ik ga ervan uit dat je het hebt kunnen volgen
 
OK, terug naar het begin.
 
De originele opgave is:
f(x)=½x·(5-x²)½
 
stel nu dat h(x)=½x, en g(x)=(5-x²)½
[je kunt h'(x) eenvoudig bepalen: h'(x)=½x⁰ = ½, en we hadden al dat g'(x)=½(5-x²)-½·(-2x) ]
 
dan kun je f(x) ook schrijven als f(x)=h(x)·g(x)
 
Van deze functie kun je de afgeleide bepalen door de produktregel toe te passen, en die levert hier: f'(x)=h'(x)·g(x) + h(x)·g'(x)
 
Weer alles invullen:
f'(x)=h'(x)·g(x) + h(x)·g'(x)
f'(x)=½ · (5-x²)½  +  ½x · ½(5-x²)-½·(-2x)
 
.. en dan even omschrijven naar de vorm zoals gevraagd wordt.
 
- - -
Je kunt drie dingen zien in de opgave:
- dat je het wortelteken als macht kunt schrijven, zoals Mathfreak zegt
- dat je het gedeelte onder het wortelteken als aparte functie kunt beschouwen -> dat betekent dat je het kunt substitueren
- dat je het gedeelte achter het =-teken als een samengestelde functie, ofwel als een product, kunt zien
 
Algemeen:
als het moeilijk lijkt: substitueren! En per gesubstitueerd gedeelte, de afgeleide bepalen. Uiteraard, later weer terug invullen.