@ mathfreak
Dat bewijst niet dat mijn aanpak tekort schiet. Je laat enkel zien hoe je het zelf zou doen.
Ik zeg ook niet dat jouw aanpak tekort schiet. Ik wijs er alleen maar op dat nagaan of alle oplossingen aan de oorspronkelijke wortelvergelijking voldoen de gebruikelijke laatste stap in het oplossen van een wortelvergelijking is. De achterliggende gedachte is dat je van een implicatie uitgaat waarvan de omkering niet geldt. Je gebruikt namelijk de eigenschap dat uit a = b volgt dat a² = b². Omgekeerd geldt echter dat uit a² = b² niet alleen a = b, maar ook de mogelijkheid a = -b volgt.
Laten we eens uitgaan van de vergelijkiing ax+c = -b√x. Stel √x = z, dan gaat de vergelijking over in az²+bz+c = 0, dus
\(z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Veronderstel dat b²-4ac>0 en
\(\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}>0\)
Stel a>0, dan geldt dat b²-4ac<b², dus ac>0, dus ook c>0. Voor a<0 geldt eveneens dat ac>0, maar dan geldt eveneens dat c<0. Stel dat z = p en z = q de oplossingen zijn van az²+bz+c = 0, waarbij p>0 en q<0, dan geldt wel dat √x = p, dus x = p², maar omdat √x≥0 betekent dit dat er niet aan √x = q kan worden voldaan omdat q negatief is, wat in strijd is met de eis dat √x≥0.